初探高中數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想

吳濤

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為常見的數(shù)學(xué)思想之一，在對(duì)“數(shù)”與“形”的綜合應(yīng)用與轉(zhuǎn)化之中解決許多看似困難的問題.因?yàn)槠鋺?yīng)用廣泛并且意義非凡，因而，也成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文主要通過數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例來明確其應(yīng)用的方式和相應(yīng)的解題方法.并提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和意識(shí).

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)合應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)是一門需要技巧與思想的學(xué)科，其內(nèi)容如三角函數(shù)、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、向量均不是容易掌握的內(nèi)容，而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以便利的解決這些內(nèi)容中大部分原本晦澀難懂的問題.而如何準(zhǔn)確且熟練地在解題過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想便利學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)便是本文的研究重點(diǎn)，具體而言，數(shù)形結(jié)合思想有何明顯的特征？如何使用數(shù)形結(jié)合思想解決現(xiàn)實(shí)問題？都是本文要回答的問題.

一、數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科.早在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，人們就知道他們可以用簡(jiǎn)單的數(shù)字表達(dá)，以幫助他們理解和記憶.近代以來，“數(shù)形結(jié)合”四個(gè)字正式出現(xiàn)是在華羅庚先生的數(shù)學(xué)著作《談?wù)勁c蜂房有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》一書中，算是近代數(shù)學(xué)思維體系中第一次把數(shù)形結(jié)合確立為思想的范疇加以分析和應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用幾乎貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教材的始終，從實(shí)數(shù)、平面幾何、方程、函數(shù)到導(dǎo)數(shù)、立體幾何、圓錐曲線、實(shí)際應(yīng)用等幾乎全部的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的蹤跡，這也是為什么要研究數(shù)形結(jié)合思想的最重要的因素，分布廣泛.

二、數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用

（一）利用數(shù)形結(jié)合求解集合問題

例1 已知集合U={x|x2-3x-28≤0}，K={x|x2-x-6>0}，則U∩K為（ ）.

A.{x|x>3或x<-2}

B.{x|-1≥x≥-4或3≤x<7}

C.{x|-2≥x≥-4或3

D.{x|x<-2或x≥3}

集合作為中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題解決的是一定范圍的、確定的對(duì)象之間關(guān)系的問題.它是一個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論.但是對(duì)問題的描述往往枯燥而缺乏生動(dòng)形象的形式.因而，數(shù)形結(jié)合能夠有效地解決這類問題.首先，所有的集合問題都可以根據(jù)對(duì)相應(yīng)對(duì)象的代數(shù)描述獲取其幾何表示的信息，這要求具有一定的數(shù)形結(jié)合能力和意識(shí)，具體到本題而言，根據(jù)題干中提供的兩個(gè)集合（求解二次方程獲得解集）將解集各自表示在一條一維坐標(biāo)軸上，如下圖所示.

根據(jù)集合中對(duì)交集的描述，很容易解決問題.

（二）利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)問題

例2 一次函數(shù)y=kx+b與二次函數(shù)y=cx2+bx+k在同一直角坐標(biāo)系中的圖像大致位置可能是（ ）.

“以形助數(shù)”思想在數(shù)形結(jié)合問題中最為常見，其可以化解傳統(tǒng)代數(shù)問題缺乏形象直觀的問題，它可以應(yīng)用于函數(shù)的最基本的功能，以及更復(fù)雜的三角函數(shù)，多函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等，基本方法就是利用直觀的函數(shù)圖像來還原隱藏在題目字里行間的解題信息，圖像的交點(diǎn)，單調(diào)性，對(duì)稱性的函數(shù)，定義域和值域，最值問題可以通過適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖像解決.例2是一類基本的函數(shù)應(yīng)用問題——畫函數(shù)圖像.函數(shù)圖像是數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)，而這類型的應(yīng)用也是后期很多題型的基本特點(diǎn)和組成要素.所以，在初識(shí)函數(shù)的時(shí)候要善于利用數(shù)形結(jié)合思想理清不同函數(shù)的性質(zhì)和圖像走勢(shì)，這對(duì)學(xué)習(xí)知識(shí)、強(qiáng)化能力都大有裨益.

（三）利用數(shù)形結(jié)合求解特殊問題

數(shù)形結(jié)合思想還可用來求解一類中學(xué)數(shù)學(xué)中的特殊問題.所謂特殊問題，是指這類問題常常是某個(gè)具體知識(shí)的變化或者某幾種不同問題的結(jié)合.這類問題主要有：復(fù)雜函數(shù)的對(duì)稱性問題、零點(diǎn)問題、多內(nèi)容綜合問題等.

例3 已知0

D.1，2，3

上述問題就屬于本節(jié)所言的特殊問題，初看上去，這是一道求解方程實(shí)根的問題，可是該方程并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的基本形式的方程，可以看出，

在其中含有指數(shù)，對(duì)數(shù)，絕對(duì)值.而且對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)是一個(gè)有自身定義域的值.這樣一個(gè)綜合性的問題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中用來比較學(xué)生解決問題的能力和用組合思想解決問題的次數(shù).根據(jù)相關(guān)函數(shù)的圖像，可以畫出該方程的圖像，如右圖.

根據(jù)基本方程，我們可以知道，根的數(shù)目是兩個(gè)圖像的交點(diǎn)的數(shù)目，所以我們可以在解決這個(gè)問題的幫助下，得知組合的數(shù)量和形狀.

三、結(jié) 語

“數(shù)形不分家”是基本的數(shù)學(xué)理論，數(shù)形結(jié)合思想可以將枯燥的“數(shù)”和生動(dòng)的“形”緊密地結(jié)合起來.在該選題對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的研究之中，筆者對(duì)其在化繁為簡(jiǎn)、化難為易方面的能力有了直觀的感受，相信這也是奮斗在中學(xué)教學(xué)一線的教師和學(xué)生們共同的感受.而要在日常的教學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐過程中多加總結(jié)才能豐富數(shù)學(xué)見聞、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、領(lǐng)略數(shù)學(xué)科學(xué)精深的魅力.

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