拋物線焦點弦性質探討

董航校+陳濤濤

【摘要】在倡導素質教育及探究式教學的今天，開拓學生思維及鉆研精神已成為教師的使命.下文以探究拋物線焦點弦許多有趣的性質為例，以提高學生探索精神.

【關鍵詞】焦點弦；準線；中點；相切；垂直；平行

設拋物線y2=2px（p>0），焦點弦AB，焦點F，A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=-p2.

證 由y2=2px，y=kx-p2， 得y2-2pky-p2=0，

y1+y2=2pk，y1y2=-p2，

∴x1+x2=y212p+y222p=12p[（y1+y2）2-2y1y2]

=12p4p2k2+2p2=2pk2+p.

一、焦點弦長

|AB|=x1+x2+p=2p1k2+1=2pcos2θsin2θ+1=2psin2θ，

其中為θ為AB傾斜角.

特殊情況：1.θ=90°時|AB|=2p，即通徑長.

2.由k2=sin2θ1-sin2θ及k=2py1+y2得|AB|=12p|y1-y2|2sinθ=2p|y1-y2|.

二、焦點弦有關的S△AOB面積

S△AOB=p22sinθ.

證 S△AOB=12|AB|p2sinθ=142psin2θpsinθ=p22sinθ=p4|y1-y2|.

三、焦點弦性質如下

圖1

性質1 由焦點弦兩端點分別作準線的垂線，兩垂足與拋物線焦點的連線相互垂直.

證 kSF·kFT=y1-p·y2-p=y1·y2p2=-p2p2=-1.

性質2 過焦點弦的一端作準線的垂線，垂足、原點、焦點弦的另一端點，這三點共線.

圖2

證 kOA=y1y2=2py1y21=2py1，

kOT=y2-p2=-2y2p

=-2·-p2y1p=2py1，

∴A，O，T三點共線.

推論 延長AO交準線于T，則BT∥x軸.

證 OA：y-y1=y1x1（x-x1），

令x=-p2得y=-p2y1=y2，

則BT∥x軸.

性質3 以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線準線相切.切點與弦兩端點連線與拋物線相切.

證 （1）取焦點弦AB的中點M過M作x軸垂線交準線于P，

|MP|=12（|AS|+|BT|）=12|AB|，

圖3

∴|MP|=|MA|=|MB|，

∴A，P，B三點共圓且以AB為直徑，與準線相切.

（2）kPA=y1+y22-y1-p2-y212p=py1

（p2=-y1y2）.

由y-y1=py1（x-x1），y2=2px， 得y2-2y1y+y21=0，

（y-y1）2=0，Δ=0，

∴PA與拋物線相切.

同理PB與拋物線也相切.

注：① 此結論是畫過焦點弦端點切線的方法.

② 過A點切線方程y1y=p（x+x1）.

性質4 過拋物線焦點弦兩端的切線互相垂直.

證 由性質3得過焦點弦兩端的切線，

L1：y-y1=py1（x-x1），

y1y-2px1=px-px1，

y1y=p（x+x1）；

L2：y2y=p（x+x2），

∴k1·k2=py1·py2=p2-p2=-1，

∴兩切線互相垂直.

圖4

性質5 過拋物線焦點弦兩端切線的交點與焦點連線和焦點弦互相垂直.

證 kPF=y1+y22-p=2p2k-p=-1k，

kAB=k，

∴kPF·kAB=-1，PF⊥AB.

也可以敘述為以PA（PB）為直徑的圓過焦點F易得△APN≌△APF，則PA平分∠NPF（推論）.

四、焦點弦中點軌跡也為拋物線

證 設焦點弦A（x1，y1），B（x2，y2），中點為P（x′，y′）則

x′=x1+x22=y21+y224p=（y1+y2）2-2y1y24p=4y′2+2p24p，

y′2=px′-p2，

軌跡是以p2，0為頂點，焦準距為原拋物線焦準距的一半.

小結：

（1）性質證明與拋物線定義密切相關，又與直線的垂直平行證明的基本方法相關.

（2）解析幾何問題用平面幾何知識解決較方便.

（3）得到許多有趣結論都與y1y2=-p2有關.

（4）通過焦點弦為直徑作圓可以準確地做出抽象的焦點弦端點切線，還有許多平行、垂直結論，多有趣.endprint