用作圖的方法解決一類幾何最值問題

肖俊云+段其中

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，作圖是一個(gè)重要內(nèi)容；在學(xué)生必備的各項(xiàng)能力里，作圖能力占一席之地.初中生要求掌握五種基本作圖，用集合的觀點(diǎn)描述角平分線、線段的垂直平分線、圓，用交軌法作圖.

近幾年來加大了對作圖能力的考查力度，除了考尺規(guī)作圖大題，還考與作圖聯(lián)系緊密的小題.有一類幾何最值考題，因?yàn)閷W(xué)生不會畫出符合題意的圖形，導(dǎo)致思路產(chǎn)生很困難.現(xiàn)從近幾年中考試題中選摘幾道與最值相關(guān)題目，談?wù)劷夥w會.

1.（2017·安徽）如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3.動點(diǎn)P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為（ ）.

分析 由S△PAB=13S矩形ABCD可得點(diǎn)P到AB距離為2，故點(diǎn)P在到AB距離為2的直線上.再由直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)距離之和最小的基本圖形做出點(diǎn)P，可以計(jì)算出最小值.

解 設(shè)點(diǎn)P到AB距離為h，作EF∥AB，EF到AB距離為2.

∵S△PAB=13S矩形ABCD12·AB·h=13·AB·AD，

∴12·h=13·3，∴h=2，

∴點(diǎn)P在到AB距離為2的直線EF上.

作點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交EF于P，此時(shí)PA+PB最小.（如圖1所示）

∵A，A′關(guān)于EF對稱，∴PA=PA′，

PA+PB=PA′+PB=A′B，AA′=2×2=4.

在Rt△A′AB中，A′B=AA′2+AB2=42+52=41，

∴PA+PB的最小值為41.故選D.

2.（2017·懷化）如圖2所示，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10 cm，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P，A（P，A兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為cm.

分析 若B為頂角頂點(diǎn)，則P在以B為圓心、BC為半徑、120°的弧上（不包括C點(diǎn)），但P，A兩點(diǎn)不重合，故不存在PA的最短距離；若C為頂角頂點(diǎn)，則P在以C為圓心、CB為半徑、60°的弧上，連接AC交弧于P，可確定AP位置；若P為頂角頂點(diǎn)，則P在線段BC的垂直平分線上，恰與點(diǎn)D重合.

解 若B為頂角頂點(diǎn)，因P，A兩點(diǎn)不重合，不存在P，A的最短距離.若C為頂角頂點(diǎn)，則P在以C為圓心、CB為半徑、60°的弧上，連接AC交弧于P，過A作AF⊥BC于F.

在Rt△AFB中，sin60°=AFAB，∴AF=10×32=53，

在Rt△AFC中，∠ACF=12×60°=30°，

∴AC=2AF=103，

∴AP=AC-PC=103-10.

若P為頂角頂點(diǎn)，則P在線段BC的垂直平分線ED上（垂直平分線經(jīng)過D點(diǎn)），此時(shí)AD⊥DE，

∵垂線段最短，P，D兩點(diǎn)重合，

∴AP=AD=10.（如圖2所示）

∵103-10<10，

∴P，A兩點(diǎn)間的最短距離為（103-10） cm.

小結(jié)：這類幾何最值問題常與運(yùn)動變化、圖形變換聯(lián)系緊密，對作圖能力要求較高，需要用相似、三角函數(shù)、勾股定理等知識運(yùn)算，是綜合性較強(qiáng)的好題.

體會與啟示：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生提出的培養(yǎng)目標(biāo)：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，這類中考試題是對“四基”的一種實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)，考查學(xué)生分析思考能力和創(chuàng)新意識.要求學(xué)生理解題意—實(shí)驗(yàn)操作—探索規(guī)律—準(zhǔn)確作圖—建立模型—計(jì)算求解，能否做出符合題意的數(shù)學(xué)圖形是其中關(guān)鍵.將某些數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為作圖問題，通過“先定位后定量”來處理，可以獲得解題捷徑.不僅可用作圖的方法解決這一類幾何最值問題，而且可以解決一些中考壓軸題.endprint