關于可導函數“極值存在性”盲點的探究

林朝暉

【摘要】高中數學“導數及其應用”這一章節中函數的“極值”是研究三次函數或超越函數的重要概念.根據函數極值的定義可知，一個可導函數在某一點處無論是取得極大值還是極小值，都要求其在該點處的局部兩側導數值異號，且這個函數在該點處導數為零是它在該點處取得極值的必要不充分條件.教學上我們也特別強調了是“必要”條件，尤其是“不充分”條件.比如，函數f（x）=x3在x=0處導數為零，但f（x）在x=0處并未取得極值.原因是該函數在x=0處兩側的導數值同號.事實上，f′（x）=x2≥0恒成立，f（x）在R上單調遞增，不存在極值.單純這一實例，學生看似理解，但總結十多年的教學實踐反饋，凡涉及“極值存在性”問題，學生往往在實際操作中患得患失，檢驗意識淡薄，造成錯誤.

【關鍵詞】導數；三次函數；極值定義；極值存在性；參數a的取值范圍

下面結合一些教學上常見和突出的實例來專項探討學生在“極值存在性”問題上的得與失：

一、當原函數為三次函數時的求極值問題

案例1 求f（x）=13x3-x2+x的極值.

錯解 f′（x）=x2-2x+1，令f′（x）=0，x=1，則f（x）的極值為：f（1）=13.

錯因分析 f′（x）=（x-1）2≥0恒成立，f（x）單調遞增，f（x）無極值.

可以看出這里本質是：f′（x）=x2-2x+1中Δ=0?。é?0時是同理?。?/p>

案例2 求f（x）=13x3-4x+4的極值.

案例1原理弄清之后就不難解析本例了：

f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）.

令f′（x）=0，x=-2，（2）當f′（x）>0，即x<-2或x>2，f（x）單調遞增，當f′（x）<0，即-2

前面兩行的單調性表明了極值的存在！這個步驟必不可少.（求極值下略……），這里本質上是f′（x）中Δ>0！

這里可以作一簡要歸納：

形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）

Δ>0Δ≤0

f（x）有極值f（x）無極值

二、當原函數為三次函數時的極值存在性求含參問題

（一）在實數集R上有極值的情形

案例3 若f（x）=x3-ax2+2ax-3在R上有極值，求實數a的取值范圍？

學生解 等價于f′（x）=3x2-2ax+2a=0在R上有實數解，令Δ≥0，解之.

解析 這里顯然把上述概念所提到的“導數為零”作為了“充分條件”.注意到f′（x）是二次函數，如圖1所示.

當Δ>0時，如圖2所示，f（x）滿足有極值的定義；當Δ≤0（特別當Δ=0）時，f′（x）≥0恒成立，

如圖3所示，f（x）在R上單調遞增，不存在極值.故正解應令Δ>0解之.

點評 這一實例告訴我們，當導函數是“二次函數”時，應限制Δ>0，為加深印象和區分度，可給出：

變式 若f（x）=x3-ax2+2ax-3，a∈R的圖像存在與x軸平行的切線，求a的取值范圍？

如圖當Δ=0時，f（x）雖不存在極值，卻存在與x軸平行的切線，滿足題意，需令Δ≥0，從而讓學生更加深刻體會它們的聯系與區別.

（二）在某區間上有極值的情形

案例4 若f（x）=43x3+32ax2-a2x在區間[-1，1]上存在極值（或不單調），求實數a的取值范圍？

學生解 f′（x）=4x2+3ax-a2=（4x-a）（x+a）=0，x=-a，a4.

令-1<-a<1或-1

解析 上述解法f′（x）中隱含著條件Δ≥0，學生往往未注意排除兩根相等的情形（即Δ=0時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上單調遞增，不存在極值.）.

正解補充 令-a≠a4（與Δ>0等價），a≠0，則a的取值范圍為（-4，0）∪（0，4）.

案例5 若f（x）=x3-ax2+x，在區間13，3上存在極值（或不單調），求實數a取值范圍？

解析 f′（x）=3x2-2ax+1（這里不易因式分解可用求根公式同上例解法，但計算煩瑣！可用分離參數法）

學生解 f′（x）=3x2-2ax+1=0在區間13，3上有解.

2ax=3x2+1，2a=3x2+1x=3x+1x13

從而23≤2a<283，則3≤a<143.

解析 上述解法也忽略了f′（x）中Δ>0的限制.需令Δ>0，這時a2>3，則a的取值范圍為3，143.

點評 案例4，5屬同一類型，但在f′（x）處理上要強調最常用的因式分解或分離參數的使用，這時均應考慮Δ>0的限制.

三、當原函數為非三次函數時的極值存在性求含參問題

案例6 若f（x）=x2-4x+3+alnx，在區間（0，2）上有極值，求實數a的取值范圍？

學生解 f′（x）=2x-4+ax=2x2-4x+ax=0.等價于2x2-4x+a=o在（0，2）上有解.

分離a：a=-2x2+4x，x∈（0，2），求得0

解析 這里表達式是分式，但仍包含著二次函數，注意到分母x>0已確定，由求導及單調性可知同樣需令Δ>0，這時a<2，則a的取值范圍為0

案例7 若f（x）=ax-4ax-lnx，在定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍？

分析 可先討論在定義域（0，+∞）上不單調（有極值）的情形.

學生解 f′（x）=a1+4x2-1x=0在（0，+∞）上有解.

分離a：a=1x+4x（x>0），

解之得：014.

解析 f′（x）=a1+4x2-1x（1）

=ax2+4a-xx2=0.（2） 也可以從本式中分離參數！

學生可能會未寫出（2）式的變化.a=0時，f（x）在定義域上單調；當a≠0時，f′（x）中仍包含二次函數，且分母已是正數，同樣需令Δ>0，這時，-14

綜合得：0

又f（x）在定義域上是單調函數，則a取值范圍為a≤0或a≥14.

點評 以上各例是導數解答題中最常見的有關“極值存在性”的題型，考慮導函數中是否存在二次函數，若存在，需限制Δ>0，這是前提，這是學生普遍忽略的死角！

但無論什么題型，判斷一個函數在某區間上是否存在極值最本質的還是“極值存在”定義.（上述Δ>0便蘊含在該定義之中）

四、利用“極值定義”來驗證極值的存在性問題

案例8 f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a，b的值.

學生解 f′（x）=3x2+2ax+b，

f′（1）=0且f（1）=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.

解析 學生一方面，是缺乏“是否有極值”檢驗的意識，另一方面，是檢驗不來.顯然，這時利用Δ>0即可檢驗.也可用極值定義：當a=-3，b=3時，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，（f（x）在x=1處局部兩側導數同號），f（x）在R上單調遞增，不存在極值，應排除.而a=4，b=-11則滿足題意.

案例9 若f（x）=2lnx+ax-bx，在x=1處取得極值4，求a，b的值.

學生解 f′（x）=2x-ax2-b，f′（1）=0且f（1）=4，解得a=3，b=-1.

這在考試中常遇到的情形：只有一組解，學生往往更不會考慮去檢驗，這個步驟會被扣分.

解析 （應檢驗）這時

f′（x）=2x-3x2+1=x2+2x-3x2=（x+3）（x-1）x2（x>0）.

當x>1時，f′（x）>0，當0

案例10 若f（x）=ex-ax，x∈R有大于1的極值點，求a的取值范圍？

解析 f′（x）=ex-a=0，x=lna>1，則a>e.（這里也可用分離參數法）

這時導函數中不含二次函數，可用極值定義驗證：

當x>lna時，f′（x）>0；當x

變式 函數f（x）=ex-ax的圖像在區間（1，+∞）上存在與y軸垂直的切線，求a的取值范圍？

這時等價于f′（x）=ex-a=0在（1，+∞）上有解，同案例1的變式，無須驗證是否取得極值.

以上列舉平時常見的與“極值存在性”相關的案例，特別是求“含參問題”是難點！其中“驗證極值的存在”是薄弱點！本文意即鞏固和強化學生的“概念意識”，深刻認識文中提到的“必要不充分”條件，以便更全面更深刻地理解和消化，促進學生數學思維品質（嚴密性）的不斷提升！