為什么一次分式函數的圖像是雙曲線？

張新全+鄧珍珍

【摘要】利用函數圖像變換定理，探究了一次分式函數圖像和雙曲線的關系，從而得出一次分式函數的圖像就是雙曲線.通過這一探究過程，使我們更加形象地理解一次分式函數及其圖像.

【關鍵詞】一次分式函數；圖像變換；雙曲線

一、問題的提出

在學習一次分式函數y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad≠0，a2+b2≠0）時，我們說它的圖像是雙曲線.一次分式函數的解析式與雙曲線的標準方程差別很大，為什么說一次分式函數的圖像是雙曲線呢？本文將做一探究.

二、問題的探究

由于y=ax+bcx+d=ac+bc-adc2x+dc，所以將y=1x的圖像向左（cd>0）或向右（cd<0）平移dc個單位得到y=1x+dc的圖像，再將y=1x+dc的圖像上點的橫坐標不變、縱坐標變為原來的bc-adc2倍得到y=bc-adc2x+dc的圖像，再將y=bc-adc2x+dc的圖像向上（ac>0）或向下（ac<0）平移ac個單位得到y=ax+bcx+d的圖像.由此可知，y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad≠0，a2+b2≠0）的圖像可由y=1x的圖像通過平移變換和伸縮變換得到.

那么y=1x的圖像是什么曲線呢？曲線在變換下的形狀是否變化呢？在中學數學范圍內，要完全清楚地回答這兩個問題是比較困難的，下面我們給出如下兩個引理：

引理1 在平移變換與旋轉變換下，任何曲線的大小和形狀不變.

證明從略.

引理2 在伸縮變換下，橢圓變為圓或橢圓，雙曲線和拋物線的形狀不變.

在平面直角坐標系中，建立適當的坐標系，在標準方程下結論2易證，此處從略.

下面探究y=1x的圖像是雙曲線.

在直角坐標系中，作旋轉變換x=x′cosθ-y′sinθ，y=x′sinθ+y′cosθ， 代入y=1x，并化簡得：

12x′2sin2θ-12y′2sin2θ+x′y′cos2θ=1.①

令cos2θ=0，取θ=π4，代入①，得：

x′22-y′22=1.②

方程②表示等軸雙曲線，據變換的可逆性及引理1可知，y=1x也表示等軸雙曲線.

由y=1x到x′22-y′22=1的旋轉變換x′=22（x+y），y′=22（y-x）， 得：雙曲線y=1x的中心是原點（0，0），焦點為（2，2）與（-2，-2），對稱軸為y=±x，漸近線為x=0與y=0，頂點為（1，1）與（-1，-1），準線為y=-x±2k，離心率e=2.

三、一次分式函數的性質

由上述討論可知，y=kx（k>0）的圖像是等軸雙曲線，其中心是原點（0，0），焦點為（2k，2k）與（-2k，-2k），對稱軸為y=±x，漸近線為x=0與y=0，頂點為（k，k）與（-k，-k），準線為y=-x±2k，離心率e=2.類似地，同理可得，y=kx（k<0）的圖像是等軸雙曲線，其中心是原點（0，0），焦點為（-2k，--2k）與（--2k，-2k），對稱軸為y=±x，漸近線為x=0與y=0，頂點為（-k，--k）與（--k，-k），準線為y=x±-2k，離心率e=2.

通過平移變換（以下記bc-adc2=k），我們可以得到如下結論：

定理1 y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad>0，a2+b2≠0）的圖像是等軸雙曲線，其中心是點-dc，ac，焦點為-dc+2k，ac+2k與-dc-2k，ac-2k，對稱軸為y=ac±x+dc，漸近線為x=-dc與y=ac，頂點為-dc+k，ac+k與-dc-k，ac-k，準線為y=-x+a-dc±2k，離心率e=2.定理2 y=ax+bcx+d（c≠0，bc-ad<0，a2+b2≠0）的圖像是等軸雙曲線，其中心是點-dc，ac，焦點為-dc+-2k，ac--2k與-dc--2k，ac+-2k， 對稱軸為y=ac±x+dc，漸近線為x=-dc與y=ac，頂點為-dc+-k，ac--k與-dc--k，ac+-k，準線為y=-x+a-dc±-2k，離心率e=2.

通過上述探究，我們不僅知道y=1x與y=kx的圖像是等軸雙曲線，也徹底清楚了一次分式函數的圖像是等軸雙曲線，理清了三者圖像間的關系.

【參考文獻】

[1]劉紹學，錢珮玲，章建躍.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M].北京：人民教育出版社，2007：1-44.

[2]葛軍，涂榮豹.初等數學研究教程[M].南京：江蘇教育出版社，2009.

[3]許璐，許紹元.關于線性分式函數的n次迭代及其應用[J].數學的實踐與認識，2006（6）：225-227.endprint