關(guān)于由均勻分布如何得到正態(tài)分布的研究實(shí)踐

劉雨晴

【摘要】計(jì)算相互獨(dú)立分布相同的分布相加后均值與方差的關(guān)系，借助查詢得到的大數(shù)定理方法給出如何由均勻分布得出正態(tài)分布，最后借助Excel軟件模擬驗(yàn)證結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】均勻分布；正態(tài)分布；大數(shù)定理；Excel模擬

最近學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容，一個(gè)美麗的分布吸引了我的注意力：正態(tài)分布.這個(gè)分布是對(duì)稱的，在坐標(biāo)系中畫(huà)出了一道美麗的弧線，從左邊的地平線，慢慢地爬到最高點(diǎn)，又緩緩地不甘地離我們而去，就像夕陽(yáng)一樣，掛念著他的大地，一直到右邊的無(wú)限遠(yuǎn)處，直到看不到他的影子.

這個(gè)分布的函數(shù)看起來(lái)很復(fù)雜， f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，但是看到這個(gè)函數(shù)的第一眼，就驚嘆于這個(gè)函數(shù)的發(fā)現(xiàn)者的巧妙，這個(gè)函數(shù)可以精確的使全坐標(biāo)下的積分為1，不多一絲不少一分，很是完美.就是這樣一個(gè)美麗的分布，吸引了我很大的注意力.這個(gè)分布的存在對(duì)于數(shù)學(xué)究竟意味著什么，為什么這個(gè)分布這么重要，甚至被稱為“常態(tài)分布”.

上課教師講到，在現(xiàn)實(shí)生活中，遇到測(cè)量之類的時(shí)候，尤其產(chǎn)生大量的連續(xù)的數(shù)據(jù)，很多時(shí)候都是希望得到這種形態(tài)的分布.換句話說(shuō)，正態(tài)分布是一種很標(biāo)準(zhǔn)的很基本的分布.

既然如此，一個(gè)其他的分布在數(shù)據(jù)很大時(shí)也有可能產(chǎn)生正態(tài)分布了嗎？我?guī)е@個(gè)疑問(wèn)展開(kāi)了自己的研究，進(jìn)行了一些推導(dǎo).

假設(shè)X，Y服從于0到1之間的均勻分布，且相互獨(dú)立.它們的分布所對(duì)應(yīng)的函數(shù)均為f（x）=1，0

f（x）=∫20pX（x0）pY（x-x0）dx0.

在00.當(dāng)0

f（x）=∫101dx=x，0

發(fā)現(xiàn)，均值和方差均為單個(gè)分布的兩倍.所以，我打算去嘗試推導(dǎo)一下獨(dú)立分布情況下的多個(gè)分布相加得到的均值與方差的關(guān)系.

均值（∑ni=1Xi）=∑ni=1均值（Xi）.

方差（X+Y）=方差（X）+方差（Y）+2×協(xié)方差（X，Y）=方差（X）+方差（Y）.當(dāng)X與Y相互獨(dú)立分布時(shí)，協(xié)方差為0.推廣到n個(gè)獨(dú)立分布相加時(shí)：

方差（∑ni=1Xi）=∑ni=1方差（Xi）+2×∑ni，j=1，i≠j協(xié)方差（Xi，Xj）=∑ni=1方差（Xi）.

根據(jù)均值和方差的性質(zhì)：

均值（n×X）=n×均值（X）；方差（n×X）=n2×方差（X），若Xi是服從于0到1均勻分布的獨(dú)立同分布，得

均值1n∑ni=1Xi=0.5，

方差1n∑ni=1Xi=1n2×方差（∑ni=1Xi）

=1n2×n×方差（X1）=112n.

雖然得到了多個(gè)均勻分布均值的均值和方差，但是不清楚他們所服從的分布是什么.這時(shí)候，我在網(wǎng)上查到了一個(gè)定理——大數(shù)定理：當(dāng)n→∞時(shí)，方差→0，就可以使用大數(shù)定理，使得在n很大的時(shí)候，某測(cè)試結(jié)果可以依概率收斂.換句話說(shuō)，當(dāng)n很大時(shí)，0到1分布的多次試驗(yàn)均值收斂到0.5，這個(gè)實(shí)驗(yàn)均值服從于方差為112n，均值為0.5的正態(tài)分布，∑ni=1Xin～N0.5，112n，即12n∑ni=1Xi-n2～N（0，1）.這時(shí)，就可以用均勻分布來(lái)產(chǎn)生正態(tài)分布了.

在這里，我們借助Excel，產(chǎn)生一萬(wàn)次數(shù)據(jù)，每次產(chǎn)生一萬(wàn)個(gè)0到1之間均勻分布的數(shù)字，于是產(chǎn)生了一萬(wàn)個(gè)12n∑ni=1Xi-n2結(jié)果.然后我將這個(gè)結(jié)果從小到大排列，計(jì)算每一個(gè)小間隔的個(gè)數(shù)，之后除以每個(gè)間隔的平均個(gè)數(shù)得到分布函數(shù)，得到下圖.

將這個(gè)圖與真實(shí)的正態(tài)分布相比：

可以看出，模擬的效果很好，也證明了過(guò)程推理的正確性，完成由一個(gè)均勻分布得到一個(gè)正態(tài)分布的過(guò)程.這次實(shí)踐加深了我對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的理解，并且更進(jìn)一步了解了正態(tài)分布對(duì)于整個(gè)概率分布、數(shù)學(xué)界的作用，這個(gè)分布是所有不確定事件的一個(gè)基礎(chǔ)，只有掌握了這些知識(shí)，才能更好地進(jìn)行下一步學(xué)習(xí).

這也讓我知道了實(shí)踐的重要性，只有親手去做一下，才能真正發(fā)現(xiàn)這其中的奧秘.

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