點猜想與線猜想

摘 要：在平面上給出n個點（不共線，n>1），且任意兩點之間都有直線相連，記此圖為Gn，點猜想稱Gn中至少有一條直線僅過兩個點。在空間作n條平行線（不共面，n>2），任意兩平行線確定一個平面，記此立體圖為Vn，線猜想稱Vn中至少有一個平面，其上僅有兩條平行線。本文對“點猜想”做了介紹，然后將它拓展為空間中的“線猜想”，加以論證，并給出了幾個相關的結論。

關鍵詞：點；直線；平面；空間；Gn；Vn；點猜想；線猜想

一、 點猜想

點猜想是一個有著傳奇色彩的猜想。它誕生于一百多年前，內容簡單明了，甚至一個小學生都可以看明白。有趣的是它引起了很多數學家的關注，并力圖攻克它，但是都以失敗告終。

本文將對“點猜想”做簡單介紹，并給出相關結論，然后再拓展到三維空間，得到“線猜想”。

我們首先看點猜想的相關定義：

定義1 在平面上給出n個點（不能共線），且任意兩點之間都有直線相連，稱此圖為Gn。點猜想即為：

定理1 （點猜想）Gn中至少有一條直線，其上面僅有兩個點。

圖1中有4個點，4條線，其中3條線上只有兩個點；圖2有5個點，6條線，其中有4條線上只有兩個點。

從點猜想被提出，幾十年過去了，數學家們沒有找到答案。在被認為是一個無法攻克的大難題時，一個非常巧妙、非常簡潔的證明誕生了。它只涉及了簡單的幾何知識，只不過多用了幾分計謀。

下面我們看簡單有趣的證明。

證明：首先，我們對每一點作出其到最近的直線之間的距離（通過它的直線不算在內），然后選擇所有距離中最短的那個，不妨設此最短距離由點

O和直線L確定，則L上至少有Gn中的兩個點，設為A，B，我們可以很容易證明L上僅有A，B兩個點。

反正法：假設L上還有第三個點C，則由點C與點O可以確定Gn中的一條直線OC，我們分兩種情況證明結論。

（1）點C在線段AB之外。

此時可作點B到直線OC的距離BF，顯然兩個直角三角形Rt△CEO與Rt△CFB相似，且BF

（2）點C在線段AB之內。

非常顯然，此種情形與（1）的證明類似。

點猜想或者還有其他多種證明方法，待感興趣的人們去探究。

下面我們來看關于點猜想的幾個結論。

引理1 當n≥4時，若Gn中至少有n-2個點共線，則Gn中至少有n-1條直線上僅有兩個點。

證明（1）若Gn中有n-1個點共線，顯然，Gn中有n-1條直線上僅有兩個點，如圖5。

（2）若Gn中只有n-2個點共線，則當n=4時，Gn中所有直線上都只有兩個點，共有6條，結論得證，如圖6。

當n>4時，分兩種情形，<1>剩余的兩個點與此n-2個點中的某一個共線，如圖7，此時Gn中有2n-4條直線上僅有兩個點，且2n-4>n-1。

<2>剩余的兩個點與此n-2個點中的任意一個都不共線，如圖8，此時Gn中有2n-3條直線上僅有兩個點，2n-3>n-1。

定理2 當n≥3時，Gn中至少有兩條直線上僅有兩個點，或者有一條直線上僅有兩個點，還有一條直線上僅有三個點。

證明當n=3時，結論顯然成立。

當n>3時，由定理1知，Gn中至少有一條直線上僅有兩個點，設為A，B，將此A，B兩個點以及與其相關聯的直線全部去掉，則有以下兩種情形：

（1）剩余的n-2個點共線。

根據引理1，Gn中至少有n-1條直線上僅有兩個點，n-1>2。

（2）剩余的n-2個點不共線。

此時，添上一些直線，可得到一個Gn-2。并且顯然，此Gn-2中的直線都在此Gn中。由定理1可知，Gn-2中至少有一條直線l上僅有兩個點。若點A，B都不在l上，則Gn中至少有兩條直線，其上僅有兩個點。若點A，B中有一個點在l上，則Gn中有一條直線，其上僅有三個點。此時即為，Gn中有一條直線，其上僅有兩點，還有一條直線，其上僅有三點。并且A，B兩點一定不會全部都在直線l上，因為直線AB上僅有兩個點。

二、 線猜想

顯然，點猜想為二維空間中的結論，我們將其拓展到三維空間中，即有如下結論。

定義2 設三維空間中有n條平行線（不共面，n>2），將任意兩平行線所確定的平面一一畫出，稱此立體圖為Vn。

線猜想即為：

定理3 （線猜想）Vn中至少存在一平面，其上只有兩條平行線。

證明：對Vn中每條直線作到與它距離最近的平面的垂線，取距離最短者，設此直線為l，此平面為α，下面用反證法證明α上只有兩條平行線。

假設α上有三條平行線l1，l2，l3，其排列次序依次為l1，l2，l3，并設它們與l所確定的平面依次為β1，β2，β3。作PA⊥α，其中P∈l，A∈α，下面分兩種情況討論。

情形一：A∈l2（如圖9），過點A作AC⊥β3，垂點為C，則△ACP是直角三角形，所以AC

情形二：Al2（如圖10），則A在l2的兩側，并且有兩種情形，或者到l1的距離大于到l3的距離，或者到l3的距離大于到l1的距離。不妨設A到l3的距離大于到l1的距離，在l2上任取一點E，作EF⊥β3，垂點為F，由于點A到l3的距離大于點F到l3的距離，所以EF

引理2 當n≥4時，若Vn中至少有n-2條線共面，則Vn中至少有n-1個面上僅有兩條平行線。

證明若Vn中有n-1條線共面，顯然，Vn中有n-1個面上僅有兩條平行線。

若Vn中只有n-2條線共面，當n=4時，顯然，Vn中所有平面上都只有兩條平行線。當n>4時，Vn中的n-2條線共面S1，另外兩條線l1，l2不在S1上，它們構成S2，則有兩種情形。

（1）S1上的n-2條線都不在S2上，此時，Vn中有2（n-2）+1個面上僅有兩條平行線。

2（n-2）+1=2n-3>n-1

（2）S1上的n-2條線中有一條在S2上，此時，Vn中有2（n-3）個面上僅有兩條平行線。

2（n-3）=2n-6>n-1

定理4 當n≥3時，Vn中至少有兩個平面上僅有兩條平行線，或者有一個平面上僅有兩條平行線，另一個平面上僅有三條平行線。

證明當n=3時，顯然Vn中的3個平面上僅有兩條平行線。

當n>3時，設某平面上僅有兩條平行線l1，l2。若剩余的n-2條線共面，則根據引理2，Vn中至少有n-2（≥2）個平面上僅有兩條平行線。

若剩余的n-2條線不共面，則可構成Vn-2，并且顯然Vn-2中的平面都在Vn中，根據定理4，Vn-2中至少有一個平面S上僅有兩條平行線。若l1，l2不在S上，則Vn中至少有兩個平面上僅有兩條平行線。若l1，l2中有一條在S上，則S上僅有三條平行線，Vn中至少有一個平面上僅有兩條平行線，還有一個平面上僅有三條平行線，并且顯然l1，l2不會全部在S上。

定理5 當n>3時，若Vn中只有一個平面上僅有兩條平行線，則Vn中有兩個平面上僅有三條平行線，或者還有一個平面上僅有四條平行線。

證明當n≤5時，可以很容易驗證，Vn中僅有兩條平行線的平面不止一個，所以下面僅需考慮n>5時的情況即可。

設Vn中只有一個平面上僅有兩條平行線l1，l2，將此l1，l2以及與其相關聯的平面去掉，剩余的n-2條平行線一定不共面。否則根據引理2，Vn中僅過兩條平行線的平面大于一個，與前提矛盾.于是剩余的n-2條平行線上再添加一些平面，即可得到Vn-2。根據定理4，有兩種情況：（1）Vn-2中有兩個平面，其上僅有兩條平行線。

（2）Vn-2中有一個平面上僅有兩條平行線，還有一平面上僅有三條平行線。

對于（1），直線l1，l2一定分別在這兩個平面上，否則Vn中僅過兩條平行線的平面大于一個，與前提矛盾。所以，Vn中有兩個平面，其上僅有三條平行線。

對于（2），設Vn-2中僅過兩條平行線的平面為S1，僅過三條平行線的平面為S2，則l1，l2兩條直線中一定僅有一條在S1上，否則與前提矛盾。若另一條不在S2上，則Vn有兩個平面，其上僅有三條平行線，若另外一條直線在S2上，則有一個平面，其上僅有四條平行線。

定理4，5表明，當n≥3時，Vn中僅過兩條平行線的平面或者大于一個，或者僅有一個。若只有一個，則Vn中一定至少存在一個僅過三條平行線的平面，若只有一個僅過三條平行線的平面，則一定至少存在一個僅過四條平行線的平面.由此可得，關于平面與平行線具有遞推關系，我們仍可以繼續往下論證。

參考文獻：

[1]西蒙·辛格，薛密譯.費馬大定理[M].上海：上海譯文出版社，1998.

[2]伊姆雷·拉長托斯，方剛，蘭釗譯.證明與反駁：數學發現的邏輯[M].上海：復旦大學出版社，2007.

[3]克萊因，朱學賢等譯.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，2002.

[4]王美艷.關于點猜想的幾點注記[J].菏澤學院學報，2008.

作者簡介：王美艷，江蘇省蘇州市，蘇州工業園區服務外包職業學院。endprint