兩幅圖景突破天體運動的命題點

■山東省沂源縣第一中學 劉 江

萬有引力與航天這部分知識在歷年高考中常以選擇題的形式進行命題。常被考查的問題有兩類：一是比較地球赤道上的物體、近地衛星、地球同步衛星的線速度、角速度、周期、向心加速度等物理量的大小關系,這類問題可以被稱為環繞問題;二是討論衛星的運行軌道由圓形突變為橢圓形或由橢圓形突變為圓形或由橢圓形突變為新的橢圓形時,衛星的機械能、加速度、速度等物理量的變化情況,這類問題可以被稱為變軌問題。這兩類問題展現了兩幅圖景,不少同學會因為對這兩幅圖景的認識不深不透,而亂猜答案。

近五年高考全國卷對這兩幅圖景的考查情況如表1。

表1

一、環繞圖景

例1中國航天局在2015年年底發射的“高分四號”衛星是我國首顆地球同步軌道高時間分辨率對地觀測衛星。如圖1所示,A是靜止在赤道上隨地球自轉的物體,B、C是同在赤道平面內的兩顆人造衛星,B位于離地高度等于地球半徑的圓形軌道上,C是地球同步衛星。下列關系正確的是( )。

圖1

A.物體A隨地球自轉的角速度大于衛星B的角速度

B.衛星B的線速度大于衛星C的線速度

C.物體A隨地球自轉的加速度大于衛星C的加速度

D.物體A隨地球自轉的周期大于衛星C的周期

解析：因為A是靜止在赤道上隨地球自轉的物體,C是地球同步衛星,所以兩者的角速度大小相等,周期相同,即ωA=ωC,TA=TC。由三者的位置關系得rA＜rB＜rC,由得TC＞TB,由得ωC＜ωB,所以ωA＜ωB。又由a=ω2r得aA＜aC,由得vB＞vC。答案為B。

點評：(1)此題展現了A、B、C三個物體環繞地心做勻速圓周運動的圖景,需要比較三者的線速度、角速度、向心加速度、周期這些物理量的大小關系。(2)A是在地球表面上(沒有離開地面)隨地球的自轉做勻速圓周運動的物體,B、C是離開地面在空中以地心為圓心做勻速圓周運動的物體。(3)物體A的向心力由萬有引力和地面的支持力的合力提供,B、C兩物體的向心力由萬有引力獨自提供。(4)尋求物體之間的相同點,選用合適的公式是解題的關鍵。對于A、C兩物體,因為轉動周期相同、角速度相等,所以比較線速度大小時用公式v=ωr,比較向心加速度大小時用公式a=ω2r;對于B、C兩物體,因為兩者都在空中做勻速圓周運動,萬有引力提供向心力,所以利用公式比較線速度、角速度、周期、向心加速度等物理量的大小。(5)有些同學會對物體A運用公式分析各物理量隨軌道半徑的變化情況,這是錯誤的。因為物體A所受萬有引力遠遠大于向心力

二、變軌圖景

圖2

例2如圖2所示是某次發射人造衛星的示意圖,人造衛星先在近地圓形軌道1上運動,然后改在橢圓形軌道2上運動,最后在圓形軌道3上運動。e點是軌道1、2

的交點,n點是軌道2、3的交點。人造衛星在軌道1上的速度為v1,加速度為a1,機械能為E1;在軌道2上e點的速度為v2e,加速度為a2e,機械能為E2e;在軌道2上n點的速度為v2n,加速度為a2n,機械能為E2n;在軌道3上的速度為v3,加速度為a3,機械能為E3。各物理量的大小關系是( )。

A.E3＞E2n=E2e＞E1

B.v1＜v2e＜v2n＜v3

C.v2e＞v1＞v3＞v2n

D.a1＞a2e＞a2n＞a3

解析：在e點,由軌道1變到軌道2,衛星做離心運動,這說明F供＜F需,而因此衛星做加速運動,即v2e＞v1;在n點,由軌道3變到軌道2,衛星做近心運動,則F供＞F需,而因此衛星做減速運動,即v3＞v2n。由得v1＞v3,所以v2e＞v1＞v3＞v2n,選項B錯誤、C正確。在e點,由軌道1變為軌道2時,衛星加速,機械能增加;在n點,由軌道2變為軌道3時,衛星加速,機械能增加;衛星由軌道2上的e點運動到軌道2上的n點,只有萬有引力做功,機械能守恒,則E3＞E2n=E2e＞E1,選項A正確。由得a=a＞a=a,選項D錯12e2n3誤。答案為AC。

點評：(1)明確衛星變軌的原因。當衛星做穩定的勻速圓周運動時,兩者滿足F=F;正在做勻速供需圓周運動的衛星,當運動到某點的線速度突然變大時,F供＜F需,衛星變軌到圓外橢圓形軌道上運動,這種現象叫離心運動,如本例中衛星在e點加速時由圓形軌道變軌到橢圓形軌道上運動;相反的,正在做勻速圓周運動的衛星,若運動到某點的線速度突然變小時,F供＞F需,衛星變軌到圓內橢圓形軌道上運動,這種現象叫近心運動,如本例中衛星在n點減速時可由圓形軌道3變軌到橢圓形軌道2上運動。類似的,正在橢圓形軌道上運動的衛星,在近地點或遠地點變速時,也會變軌到新的橢圓形軌道或圓形軌道上運動。(2)明確衛星機械能的變化。衛星在穩定的圓形軌道或橢圓形軌道上運動時,衛星的機械能是守恒的,即衛星的動能和引力勢能之和保持不變(沿橢圓形軌道運動時,引力勢能和動能會相互轉化);衛星在某點加速或減速實現變軌時,動能發生了變化(引力勢能沒變),機械能也發生了變化。(3)明確衛星加速度的變化。判斷衛星在運動中兩點加速度的變化情況時,用公式即a=在變軌點,雖然線速度大小發生了突變,但是衛星還是在同一點,衛星的加速度沒有變化。有些同學在變軌點會根據錯誤地認為只有速度發生了變化,軌道半徑r沒有變化,導致加速度也變化。(4)明確衛星變軌實現對接的細節。在同一軌道上一前一后做勻速圓周運動的兩星,要實現對接,一般是后面的衛星在某點先減速變軌到內圓形軌道上運動。因為在內圓形軌道上運動的衛星的線速度較大,所以兩星間的距離會逐漸減小。當兩星間的距離較近時,在內圓形軌道上運動的衛星再加速向外變軌從而實現對接。若是后面的衛星在某點直接加速,則會變軌到外圓形軌道上運動,因為在外圓形軌道上運動的衛星的線速度較小,所以會使兩星間的距離拉大,不能實現對接。

跟蹤訓練

1.有a、b、c、d四顆地球衛星,a還未發射,在地球赤道上隨地球一起轉動,b在地面附近的軌道上正常運動,c是地球同步衛星,d是高空探測衛星,各衛星的排列位置如圖3所示,則( )。

圖3

A.衛星a的向心加速度等于重力加速度g

B.衛星b在相同時間內轉過的弧長最長

C.衛星c在4h內轉過的圓心角是

D.衛星d的運行周期有可能是20h

圖4

2.如圖4所示,甲是地球赤道上的一個物體、乙是“神舟六號”宇宙飛船(周期約90min)、丙是地球同步衛星,它們的運行軌道示意圖如圖所示,它們都繞地心做勻速圓周運動。下列有關說法中正確的是( )。

A.它們的向心加速度大小關系是a乙＞a丙＞a甲

B.它們的線速度大小關系是v乙＜v丙＜v甲

C.已知甲的運行周期T甲=24h,可計算出地球的密度

D.已知乙的運行周期T乙和軌道半徑r乙,可計算出地球的質量

3.我國正在進行的探月工程是高新技術領域的一項重大科技活動,在探月工程中飛行器成功變軌至關重要。如圖5所示,假設月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g0,飛行器在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上運動,到達軌道的A點處點火變軌進入橢圓形軌道Ⅱ,到達軌道Ⅱ的近月點B再次點火進入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運動,則( )。

圖5

B.飛行器在B點處點火后,動能增加

D.只在萬有引力作用下,飛行器在軌道Ⅱ上通過B點的加速度大于在軌道Ⅲ上通過B點的加速度

4.“嫦娥三號”的飛行軌道示意圖如圖6所示。假設“嫦娥三號”在環月段圓形軌道和橢圓形軌道上運動時,只受到月球的萬有引力,則( )。

圖6

A.若已知“嫦娥三號”環月段圓形軌道的半徑、周期和引力常量,則可算出月球的密度

B.“嫦娥三號”由環月段圓形軌道變軌進入環月段橢圓形軌道時,應讓發動機點火使其加速

C.“嫦娥三號”在環月段橢圓形軌道上P點的速度大于Q點的速度

D.“嫦娥三號”在動力下降段,其引力勢能減小

參考答案：1.B 2.AD 3.A 4.D