正弦式交變電流的圖像問題求解策略

■河南省洛陽市第二中學 王春旺

若線圈在勻強磁場中繞與磁場方向垂直的軸勻速轉動,則線圈中將產生正弦式交變電流。高中階段同學們遇到的與正弦式交變電流相關的圖像主要有四種,分別是磁通量隨時間變化的圖像、電動勢隨時間變化的圖像和電流隨時間變化的圖像、電壓隨時間變化的圖像等。

一、圖像的解讀

1.中性面位置是指線圈平面垂直于勻強磁場方向的位置。若發電機的線圈在勻強磁場中從中性面開始以角速度ω勻速轉動,則與隨之產生的正弦式交變電流相關的四個物理量隨時間變化的規律和圖像如下。

(1)磁通量：函數關系式為Φ=Φmaxcosωt,圖像如圖1所示。由磁通量隨時間變化的圖像可知：在中性面位置,線圈平面垂直于磁場方向,穿過線圈的磁感線條數最多,磁通量最大,最大值Φmax=BS,S為線圈面積;在垂直于中性面位置,線圈平面與磁場方向平行,穿過線圈的磁感線條數為零,磁通量為零。

圖1

(2)電動勢：函數關系式為e=Emaxsinωt,圖像如圖2所示。由電動勢隨時間變化的圖像可知：在中性面位置,產生的電動勢最小,最小值為零;在垂直于中性面位置,產生的電動勢最大,最大值Emax=nBSω。

(3)電流：函數關系式為i=Imaxsinωt,圖像如圖3所示。由電流隨時間變化的圖像可知：在中性面位置,外電路中的電流最小,最小值為零;在垂直于中性面位置,外電路中的電流最大,最大值

圖2

圖3

(4)電壓：函數關系式為u=Umaxsinωt,圖像如圖4所示。由電壓隨時間變化的圖像可知：在中性面位置,外電路的電壓(發電機路端電壓)最小,最小值為零;在垂直于中性面位置,外電路的電壓(發電機路端電壓)最大,最大值

2.上述四個物理量的相互關系如下。

(1)根據法拉第電磁感應定律可知,電動勢與磁通量的關系為

(2)若發電機線圈電阻為r,外電路電阻為R,根據閉合電路歐姆定律得

(3)根據閉合電路歐姆定律得u=iR=

二、圖像的應用

1.這四種圖像的橫軸代表物理量時間,一個完整周期對應的時間均表示交變電流的一個周期。

2.利用圖像可以確定相應物理量的峰值,即圖像的最大值為相應物理量的峰值。

3.利用圖像可以確定正弦式交變電流的有效值,即

三、圖像問題攻略

利用正弦式交變電流圖像分析相關各物理量的變化情況時,要注意中性面的特點。相關各物理量的變化可分為兩大類：一類是電壓U、電流I、電動勢E、磁通量變化率它們的變化情況相同,遵循相同的變化規律;另一類是磁通量Φ,它的變化情況與前一類的變化情況相反。

例1邊長為a的N匝正方形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁感線且與線圈在同一平面內的對稱軸勻速轉動,轉速為n,線圈所圍面積內的磁通量Φ隨時間t變化的規律如圖5所示,圖像中Φ0已知,則下列說法中正確的是( )。

A.t1時刻線圈中的感應電動勢最大

B.t2時刻線圈中的感應電流為零

D.線圈中瞬時感應電動勢的表達式為e=2πnNcos2πnt

解析：t1時刻線圈中的磁通量最大,磁通量變化率為零,根據法拉第電磁感應定律可知,線圈中的感應電動勢為零,選項A錯誤。t2時刻線圈中的磁通量為零,磁通量變化率最大,根據法拉第電磁感應定律可知,線圈中的感應電動勢最大,根據閉合電路歐姆定律可知,線圈中的感應電流最大,選項B錯誤。由磁通量最大值Φ0=BS,S=a2可知,勻強磁場的磁感應強度選項C正確。根據正方形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁感線且與線圈在同一平面內的對稱軸勻速轉動的轉速為n可得,頻率f=n,ω=2πn,線圈所圍面積內的磁通量Φ隨時間t變化的規律為Φ=Φ0sin2πnt,線圈中瞬時感應電動勢的表達式為e=NBsωcosωt=2πnNcos2πnt,選項D正確。答案為CD。

點評：此題以線圈在勻強磁場中繞垂直于磁感線且與線圈在同一平面內的對稱軸勻速轉動時線圈所圍面積內的磁通量Φ隨時間t變化的圖像為信息,考查磁通量、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律及其相關知識點,意在考查同學們對磁通量圖像的理解和綜合運用相關知識求解問題的能力。

例2如圖6甲所示,在磁感應強度為B的勻強磁場中,有一匝數為n,面積為S,總電阻為r的矩形線圈abcd繞軸OO'做角速度為ω的勻速轉動,矩形線圈在轉動過程中可以保持與外電路電阻R形成閉合電路,回路中接有一理想交流電流表。圖乙是線圈在轉動過程中產生的感應電動勢e隨時間t變化的圖像,下列說法中正確的是( )。

A.從t1到t3這段時間內穿過線圈磁通量的變化量為2nBS

B.從t3到t4這段時間內通過電阻R的電荷量為

C.t3時刻穿過線圈磁通量的變化率為nBSω

解析：從t1到t2這段時間內,線圈轉過四分之一周期(90°),穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ1=0-BS=-BS,從t2到t3這段時間內,線圈又轉過四分之一周期(90°),穿過線圈磁通量的變化量為ΔΦ2=-BS-0=-BS,因此從t1到t3這段時間內穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ=ΔΦ1+ΔΦ2=-2BS,選項A錯誤。從t3到t4這段時間內,穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ=0-BS=-BS,根據法拉第電磁感應定律可知,產生的感應電動勢根據閉合電路歐姆定律可知,通過電阻R的電流通過電阻R的電荷量選項B錯誤。t3時刻線圈中產生的感應電動勢最大,且所以穿過線圈磁通量的變化率選項C錯誤。電流表的示數為交變電流的有效值,即I=選項D正確。答案為D。

點評：線圈的兩個面可以分別被視為正面和反面,磁感線從正面穿入可視為磁通量為正值,磁感線從反面穿入可視為磁通量為負值。在線圈從磁通量為最大值的位置轉過180°的過程中,磁通量變化量為磁通量最大值的2倍,而不能視為磁通量變化量為零。

例3如圖7甲所示,一矩形閉合線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的轉軸OO'以恒定的角速度ω轉動。從線圈平面與磁場方向平行時開始計時,線圈中產生的交變電流按如圖乙所示的余弦規律變化,則在t=時刻,下列說法中正確的是( )。

A.線圈中的電流最大

B.穿過線圈的磁通量最大

C.線圈所受的安培力為零

D.穿過線圈磁通量的變化率最大

解析：由周期公式可知時刻,線圈恰好轉動一個周期,對應圖乙中線圈中的電流最大,選項A正確。當線圈中的電流最大時,對應感應電動勢最大,穿過線圈磁通量的變化率最大,穿過線圈的磁通量為零,選項B錯誤,D正確。根據安培力公式F=BILsinα可知,當電流I最大時,電流I與磁感線間的夾角為90°,線圈所受安培力最大,選項C錯誤。答案為AD。

點評：此題以電流—時間圖像為信息,但是沒有給出電流的變化周期,同學們需要根據題述“矩形閉合線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的轉軸OO'以恒定的角速度ω轉動”得出電流的變化周期從而確定在時刻,對應圖乙中線圈中的電流最大,最終使相關問題得到解答。