相切型傳遞的加速度表現

陳奎孚 姚海蓉 張云文

(中國農業大學 1理學院74#， 2工學院，北京 100083)

圓輪在剛體平面運動和復合運動的訓練中頻繁出現，然而長期以來，主流理論力學教材和教輔對涉及圓輪的運動學分析存在若干疑問。本文將建立相切型傳遞的加速度關系，利用該關系澄清長期以來的疑問。

1 若干疑問

1.1 疑問1

圖1 相切型機構

分析圖1所示的“相切型”機構的速度和加速度是經常使用的教學案例[1-3]。采用點的復合運動分析這個案例時，我們會反復強調動點不能選擇為桿與盤的切點。一般做法是以桿為動系，輪心為動點。這樣做的最重要依據是：輪心到桿的距離不變，因此以桿為動系，看到輪心的相對軌跡是平行于桿的直線，而后者的分析非常容易。圖1在教學上很典型，但是很難推廣到工程上經常遇見的非圓情形[4,5]。

1.2 疑問2

圖2 圓輪純滾動

1.3 疑問3

剛體接觸對應一個約束，減少一個自由度。圖2的純滾動，不僅輪與地面接觸，而且純滾動，這又是一個約束，應再減少一個自由度。發生平面運動的圓輪具有3個自由度，扣除約束的兩個自由度，還剩一個自由度。也就是說，對圖2的模型應該只能再指定一個加速度分量了，然而圖2的輪心加速度aO的兩個分量(一個水平，豎直分量為零)往往是全給定的。因此aO信息肯定是冗余的。究竟哪個分量冗余呢？能否利用這個冗余信息回避對vO=Rω求導呢？

1.4 疑問4

把圖1中的圓輪換成橢圓輪，那么目前教輔所提供的方法就很難實施。同樣如果把圖2的圓輪換成橢圓輪(比如橄欖球)，則vO=Rω就很難使用，更無法求導。更為一般情形是兩個接觸邊緣都是任意的平滑曲線。這種一般情形更有理論統一的價值，但幾乎現有的教材和教輔都對此避而不談。當然也可以想象，答案即使找到，也可能比較繁冗，在課堂教學上很難實施。然而，既然有這種非圓情形，并且工程上有其應用，那么對科學的執著就應該找到對應答案。找到了答案，一方面使這個科學問題得以封閉，另一方面也可居高臨下地來審視特例，豐富課外學習材料。

2 加速度分析

因為復合運動分析很難處理非圓情形，所以本文直接從平面運動分析入手。

在圖3(a)中，兩個平面運動剛體Ⅰ和剛體Ⅱ在t時刻相切，切點在兩個剛體上位置記為A和B。兩個剛體在切點的曲率半徑分別為ρⅠ和ρⅡ；OⅠ和OⅡ分別為對應的曲率中心。剛體Ⅰ和剛體Ⅱ的轉動角速度分別為ωⅠ(t)和ωⅡ(t)；切點處的速度分別為A(t)、B(t)；加速度分別為aA(t),aB(t)。

圖3 兩個剛體相切(a) t時刻; (b) t+Δt時刻

2.1 速度關系

因為A和B接觸，而剛體又不能變形，所以A(t),B(t)在公法線上投影相等，即二者有如下關系

A(t)=B(t)+vr(t)τ(t)

(1)

其中，vr(t)是A點相對B點的速度大小；τ(t)是公切線方向矢量。

在Δt之后，兩剛體的切點分別變成A′和B′,相應的速度分別為A′(t+Δt)、B′(t+Δt),如圖3(b)所示。同樣有如下關系

A′(t+Δt)=B′(t+Δt)+vr(t+Δt)τ(t+Δt)

(2)

注意t時刻的A和B，現在分別移動到了A″和B″, 各自速度分別為A″(t+Δt)、B″(t+Δt)。采用基點法，可建立A′和A″的速度關系,即

A″(t+Δt)=A′(t+Δt)+ωⅠ

(3)

(4)

2.2 加速度關系

式(3)減式(4),并把式(2)代入得到

(5)

根據定義

二者相減得

(8)

將式(1)和式(5)代入式(8)整理得

aA(t)-aB(t)=L1+L2-L3

(9)

其中

這3個極限的分析過程相對冗長，我們將其放在第4節，結果分別為式(28)、式(31)和式(32)。把這3式代入式(9)可得

(10)

式中諸量均為t時刻的取值，為書寫簡潔，已把諸量隨t變化的標記“(t)”去掉了。

式(10)也可將切向和法向分開寫，即

圖3中剛體Ⅰ和剛體Ⅱ在接觸點都是凸的。如果有一個凹的，比如剛體Ⅱ為凹, 則式(10)和式(12)中的ρⅡ取-|ρⅡ|即可。

3 運用

本節討論式(11)和式(12)的應用，并解答第1節的疑問。

3.1 純滾動情形的退化

相切型的約束關系已經要求了兩個接觸點的速度沿公法向投影相等。如果進一步約束為純滾動，即兩個接觸點的切向速度也相等，也就是vr=0，則式(11)和式(12)退化為

這就是純滾動約束的加速度關系。

進一步，如果剛體Ⅱ為靜止的地面，則有

這就退化為被苦苦尋找的速度瞬心加速度了[6-8]。

3.2 加速度約束關系

其實，桿系分析也需要補充加速度約束信息，只是沒有特別強調罷了，比如圖4的機構。根據約束性質容易確定A和B兩點的速度方向(沿各自的滑道方向)。但這個信息并不自動蘊涵對加速度的約束，因為A和B兩點速度都沿軌跡切向，但加速度不是這樣。A點加速度還是沿軌跡切向，但是B點的加速度則不是。實際上A點加速度理所當然沿切向的論斷是把對速度求導過程隱藏起來了。對B點，雖然沒有明顯的求導過程，但事實上，法向加速度大小是在自然法的知識點通過求導確定出來的。圖4桿系的處理也可統一地說成：約束在加速度上的顯式表現為法線加速度是已知的(速度已知)。對A點，法向加速度為零，進而推斷出全加速度沿切向。最一般的情形是式(12),只是記起來比較費勁而已。

圖4 桿系示例

由于圓輪要對vO=Rω求導與桿系“反對”求導的認知沖突，以及前者運用場合受限的缺點，所以筆者建議使用加速度約束，即對純滾動圓輪補充式(15)的約束關系(為了應試訓練而對vO=Rω求導，則是權宜之計)。更一般地，對兩個平滑剛體接觸情形的加速度分析，應直接使用式(12)(或式(14)或(16))。這樣處置可消除疑問2。

3.3 圓輪純滾動的冗余信息

在圖2圓輪純滾動模型中, 輪心的加速度aO是已知的，這相當于給定了兩個條件，而A點相切又給定了一個條件(式(14)或式(16))，而平面運動剛體只有3個自由度，那么只用上述3個條件(不用純滾的切向加速度約束式(13)或式(15))是否就可以確定輪子的所有信息了呢？

前面的討論消除了疑問2和疑問3。至于疑問4，因為圖3模型適用于任意平滑邊緣的接觸關系，因而式(11)～式(14)都是通用的。這樣疑問4得以自動消除。

至于疑問1，下面通過具體示例來闡述。

例題1

解答 取O1A桿為物體1，偏心輪為物體2。速度分析如圖5(a)所示。式(1)沿公法向投影

即有

圖5 例題1圖(a) 速度分析; (b) 加速度分析

為求下一步的加速度，式(1)沿公切線投影

得vr=v2sin60°。

加速度分析的相關信息如圖5(b)所示。由式(12)有

例題2

圖6 例題2圖(a) 橢圓凸輪機構; (b) 加速度分析

解答 取O1A桿為物體1，橢圓輪為物體2。因為速度不涉及曲率，所以速度分析和答案與例題1完全相同。

加速度分析如圖6(b)所示。由式(12)有

例題1和例題2表明相切型問題的加速度分析可通過本文的傳遞加速度關系來完成，且具有通用性，當然代價是要使用相對復雜式(11)和式(12)。采用點的合成運動來處理相切型問題，只能分析圓輪問題，而此類題目甚少，所以教學和考核中過度強調這個方法就值得商榷了。

4 相關極限的分析

本節證明第2節所需要的3個極限。

4.1 與角速度相關的極限

為了清晰起見，圖7突出了兩個剛體在t和t+Δt兩個時刻的角度信息。把t時刻單位切向矢量τ(t)與剛體Ⅰ固結。圖7中ΔθΙ是在Δt內，τ(t)轉到τ″的角度，本質上也就是剛體Ⅰ轉過的角度，因此

(17)

ΔθΙ=ΔθA+Δθm

(18)

圖7 兩個相切剛體的角度關系

把它代入式(17)得到

(19)

式(19)右邊第一項可寫成

等號右邊第一個極限按定義為1/ρⅠ。對于曲率有界的邊緣(平滑)，上式右邊第二個極限為1。因而式(19)可寫成

(20)

圖7中ΔθⅡ和ΔθB是與ΔθΙ和ΔθA分別對應的量。同樣有

(21)

4.2 與相對速度相關的極限

注意圖7中矢量關系：

兩邊除以Δt后取極限得到

(22)

把式(1)代入式(22)得

(23)

4.3 3個關鍵極限

式(20)、式(21)和式(23)聯合，可求得如下3個極限：

它們是隨后分析的關鍵。

4.4 公切向單位矢量的導數

圖8 公切向單位矢量的增量分析

τ(t+Δt)-τ(t)的大小為2sin(Δθm/2)≈Δθm,因此

把式(26)代入有

(27)

4.5 式(9)右邊第一個極限

重組式(9)右邊的第一個極限

進一步可寫為

把式(27)代入有

(28)

4.6 式(9)的第二個和第三個極限

容易把第二個極限變為

(29)

(30)

式(25)右邊的第二個極限已由式(24)給出。這樣就得到了

(31)

同理可以得到第三個極限

(32)

5 結語

本文導出了相切型傳遞的加速度關系,使得這一科學問題得以封閉。在推導過程中建立了若干關鍵極限，后者不僅是本文的基礎，也將是相關問題的研究基礎。

利用導出的一般關系審視了純滾動、加速度約束等相關疑問，澄清了相關問題。

將導出關系運用于兩個例題，其中一個例題用復合運動分析難以解決。從所導出關系出發，兩個例題的求解過程都比較簡潔。

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