習題解后反思的課堂實踐

摘 要：波利亞（G. Polya）“怎樣解題”表中的四個步驟：“理解問題——制訂計劃——執行計劃——回顧”，其中“回顧”即解題后的反思，是其中一個極其重要而又容易被忽視的環節。本文側重闡述解題后反思的課堂實踐。

關鍵詞：習題；呈現；反思；鞏固

習題呈現：習題：在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，∠C=90°，PQ∥AB，P點在AC上（與點A、C不重合），Q點在BC上，（1）、（2）略，（3）試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求PQ的長。

習題解答：此題在作業中幾乎無人問津，我把它放到課堂上進行講解。讓學生再次審題，根據自己的理解畫出幾何圖形，并選擇兩位學生在黑板上畫出。

兩位學生畫完后，有學生舉手說：“這兩種圖形都正確，應該還有第三種，∠PQM可以是直角，因為△PQM沒有指明哪個角是直角。”我對三位學生的表現大為贊賞，順勢引導學生對結論進一步分析，結合圖形進行歸納，確定為二種情形：情形1，如上圖①（∠PQM=90°或∠QPM=90°歸為一類，PQ長相等）；情形2，如上圖②（∠PMQ=90°為一類）。

通過商討，我們找到了解答此題的兩種方法。解題完畢后，我們一起對此題進行回顧反思，以便找尋原因，總結方法。

解后反思：

（一） 反思題意的理解、思考過程：反思對條件的理解，條件呈現較明確；反思對結論的理解，發現有：

1. △PQM為等腰直角三角形，沒有指明哪個角是直角，結論的不確定性就會產生多種可能性；是此題無人問津的原因之一。

2. 幾何圖形沒有呈現，由我們自己畫圖，由于幾何圖形的多樣性就有產生多種幾何圖形的可能性；是此題無人問津的原因之二。

經過對題意的反思，我們明確了此題屬于結論開放型題，做題時要注意多種可能情況的出現，思考要周密，嚴防遺漏其他可能情況，同時對多種可能情況進行歸納，確定最后情形。

（二） 反思解答過程

1. 反思知識的聯系，避免解題的盲目性：通過對解答過程的反思，發現此題的圖形呈現出相似三角形常見的基本圖形——“A”形，運用了相似三角形的知識解決了問題。由此如果把題中的條件與知識間的聯系搞清楚，以后碰到類似知識問題時，便可嘗試使用此解法，以避免解題的盲目性，同時有利于提高自身的分析能力和歸納思維能力。

2. 反思解題的方法，促進思維的拓展：通過對解答方法的反思，發現此題的解法有兩種（方法一：運用兩次相似；方法二：運用相似三角形對應高線之比等于相似比），兩種解法都適用于這兩種情形。兩種解法的知識上都運用了相似的知識點，方法中都運用了數形結合的思想，必要時添加了輔助線構造了相似的基本圖形使解題更簡便。這在促進學生思維拓展的同時也使學生明白一些解題技巧：

（1） 一題出現多種可能性時，解題方法能否通用，可嘗試（此題得到體現）；

（2） 一題分為多個小題時，每小題間是否有聯系，前小題結論或方法能否為后小題服務？解題方法能否借鑒、遷移呢？也可嘗試（此題同樣得到體現）。

通過反思，發現此題的解法有兩種，比較難易，確定一種較簡便的方法。也使學生明確：不少習題可有多種解法，因而解完一道題后，應周密地反思是否還有其他別的求解途徑，以求最簡捷的解法，使自己的思維空間得到拓展，防止思維定勢，使自己解題的能力得到提升。

3. 反思解題的規律，促進能力的遷移

反思此題，我們有無解題規律可循呢？引導學生歸納出這樣的規律：線平行可得三角形相似；相似三角形的對應高線之比等于相似比；結合題意添加必要的輔助線可構造三角形相似；圖形中有沒有相似的基本圖形——“A”與“X”型可運用等等。經過這樣反思，讓學生領略其中的微妙，發現其中的規律，做到明一類，得一法，使這方法得到遷移來解決同一類型題目。

習題歸一：

（三） 反思題目的演變，強化開拓探索

反思后，一位學生忽然站起來說：“老師，這題跟我們后面做過的同步練習P57的第3題是同一類題。”我們師生一起看書，看到此題為：如圖①②Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AC=3，BC=4，分別在兩個三角形中畫如圖所示的正方形DEFG和正方形C′MNP。通過計算比較一下，哪個正方形的邊長大？

有些學生用疑惑的眼光看著她，她繼續說，“情形1添加一條垂線，過點Q作AB的垂線QE就行，情形2去掉一條線段QP就行。”

聽完后，學生們豁然開朗，噢，原來如此。我們為此學生的回答大力鼓掌、贊賞。之后我們一起來分析了這兩題間的聯系，發現情形1與此圖①純屬同一種題，情形2與此圖②應說較接近同種題，因四邊形CQMP不一定是正方形，但它們的解題方法是一致的。我們進一步探究它們間的聯系，發現此類題可一般化，就如同頁中的第2題，如圖，有一塊三角形的余料ABC，它的一邊BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，加工成的正方形零件的邊長是多少？

通過分析發現這三道題可以從易到難，從淺到深演變；演變中探求到解題的一般方法：三角形相似，相似三角形的對應高線之比等于相似比，貫穿始終。也深深體會到做題的樂趣，體會到做完一道題后，教師要引導學生去探索、聯想、創新，要開拓出一組新穎別致的習題，發揮典型習題在知識層面和能力層面的輻射功能，發揮學生的潛能，培養學生探索精神，培養思維的創造性和深刻性。

習題鞏固：

我布置了一個任務：讓每位學生交一道類似于剛才所講的題目，以形成序列習題便于鞏固練習。

通過對此題的反思，我們學生今后碰到此類型題時，就會輕松地解決。

自身收獲：

（四） 反思教學過程，促進教師的成長

課后，反思了自己的教學過程，覺得自己在教學上基本體現了教師的主導地位和學生的主體地位，采取了學生獨立自主、合作交流的教學手段，以培養學生的分析能力、合作能力、探究能力為目的。教學中也暴露出自己備課不充分，以題論題，沒有把題進行拓展、引申，加以聯系，缺少自我探索能力。反思自我教學過程，認識和找到自身教學的不足，適時積累經驗，促進自我成長。

總之，教師在數學教學過程中不但要引導學生學習解題后的反思，更重要的讓學生逐步養成自我反思的習慣。而我們教師更加要做反思型教師，孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆。”通過反思，有助于總結經驗教訓，有助于拓開研究教學過程，有助于提高教學水平，從而形成適合于自己、有益于學生的教學方式和教學特點。陶西平（聯合國教科文組織協會世界聯合會副主席，國家總督學顧問）指出，教育需要在反思中創新，教師通過審視自己的教育習慣，尋找改革的切入點，又通過對自己教育習慣的理性思考，促進自身教育觀念的轉變，再在這一基礎上建立新的習慣，實現教育的創新。

積跬步以至千里，深愿在各位教師對自己教學習慣的反思中，實現我們自身的教學創新。

參考文獻：

[1] 方曉華.養成解題后反思的習慣培養學生良好的思維品質[J].中學教研，2004（6）.

[2] 曾護榮.淺談解題后的反思[J].數學大世界，2005（5）.

[3] 鼎尖助學系列——同步練習[G].華師大數學八年級下.延邊教育出版社出版，2015（10）.

[4] 范達江.波利亞的數學思考在解決中考題中的應用[S].中學數學教學參考，2016（1）.

[5] 袁虹.微課中“解后反思”的思考與實踐[G].中學數學教學參考，2016（1）.

[6] 陶西平.教育需要在反思中創新[J].教育論壇，2016（12）.

作者簡介：朱煒煒，中學高級教師，浙江省寧波市，浙江省象山縣丹城實驗初中。endprint