應(yīng)用一元二次方程解決“銷售問題”之我見

摘 要：一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個(gè)模型解決“銷售問題”，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。本文通過對(duì)北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第二章第6節(jié)第2時(shí)的例題分析，通過幾個(gè)環(huán)節(jié)：溫故知新、例題學(xué)習(xí)、鞏固練習(xí)、鞏固訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握運(yùn)用一元二次方程來解決銷售的問題。

關(guān)鍵詞：一元二次；銷售問題；教學(xué)過程

雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等，初步感受了方程的模型作用，積累了利用方程解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，但在解決如下問題時(shí)卻遇到很大的困難和挑戰(zhàn)。

例題：（北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第二章第6節(jié)第2時(shí)）：新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)。商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

例題分析：本例中涉及學(xué)生對(duì)進(jìn)貨價(jià)、銷售價(jià)、定價(jià)這幾個(gè)概念的區(qū)分與理解，還涉及單利潤(rùn)（即單件利潤(rùn)）、總利潤(rùn)、數(shù)量這三個(gè)量之間數(shù)量關(guān)系的熟練掌握，最難的是降價(jià)后每天銷售數(shù)量的準(zhǔn)確表示。同時(shí)，本題的解法不止一種，不同的設(shè)未知數(shù)的方法有不同的列法，涉及的解一元二次方程的難度也不同。如此多的難點(diǎn)集中在此例上，我認(rèn)為不宜直接引用本例上課，應(yīng)在本例題前為學(xué)生搭建好小臺(tái)階，讓學(xué)生一步步理解與掌握，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果?；诖它c(diǎn)考慮，特將本課時(shí)做出如下設(shè)計(jì)，請(qǐng)同行指正。

第一環(huán)節(jié)：溫故知新

1. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?-2x）（x-3）=-24

2. 天虹商場(chǎng)出售“米奇”牌童裝，一件童裝的進(jìn)價(jià)為50元，定價(jià)為80元。為了擴(kuò)大銷售量，在“十一”期間打8折銷售，則一件衣服的利潤(rùn)（即單利潤(rùn)）為14元，如果一共賣出30件，則一共賺了（即總利潤(rùn)）420元。

3. 公式：

（1） 單利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)

（2） 總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×銷售量=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量

設(shè)計(jì)意圖：

應(yīng)用一元二次方程解決“利潤(rùn)問題”，所列方程多為第1題的形式，學(xué)生通過此題可回顧一元二次方程的解法，同時(shí)感受先約分化簡(jiǎn)對(duì)解方程帶來的便利?！袄麧?rùn)問題”與生活息息相關(guān)，學(xué)生通過生活中的第2個(gè)問題充分理解進(jìn)貨價(jià)、銷售價(jià)、定價(jià)的概念，同時(shí)明確：?jiǎn)卫麧?rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)、總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×銷售量這兩個(gè)公式。

第二環(huán)節(jié)：例題學(xué)習(xí)

例1 某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每天能售出600個(gè)。調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè)，為了實(shí)現(xiàn)平均每天10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈每個(gè)應(yīng)上漲多少元？此時(shí)每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)（定價(jià)）是多少？

解：設(shè)上漲了x元。根據(jù)題意可列方程為：（40-30+x）（600-10x）=10000

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過填表格，可充分理解當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，單利潤(rùn)如何表示，銷售量是如何變化、又是如何表示的，會(huì)表示單利潤(rùn)和銷售量，自然可表示出總利潤(rùn)，此問題可迎刃而解。

第三環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)

練習(xí)1 某種服裝，平均每天可銷售20件，每件盈利44元，在每件降價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？（要求：只列方程）

解：設(shè)每件降價(jià)x元，根據(jù)題意可列方程為：（44-x）（20+5x）=1600

設(shè)計(jì)意圖：

通過例1的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)理解了“利潤(rùn)問題”三個(gè)量之間的等量關(guān)系，以及正確表達(dá)銷售量的方法，初步掌握了解決“利潤(rùn)問題”的方法，通過此練習(xí)，鞏固解題思路及方法。

第四環(huán)節(jié)：例題再學(xué)

例2 新華商場(chǎng)銷售某類冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)。商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

學(xué)生先借助表格來分析：

解法1：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，由題意得：（2900-2500-x）8+x50×4=5000

解法2：設(shè)降了a個(gè)50元，即降了50a元，

根據(jù)題意可列方程得：（2900-2500-50a）（8+4a）=5000

解法3：設(shè)每臺(tái)冰箱定價(jià)y元，由題意得：（y-2500）（8+2900-y50×4）=5000

設(shè)計(jì)意圖：

解法1：

對(duì)于漲價(jià)（或降價(jià)）不是“1元”的情況，“銷售量”的理解與表達(dá)是最大的難點(diǎn)，學(xué)生往往常把銷售量表示成（8+4x）這種錯(cuò)誤形式。受例1的啟發(fā)，多數(shù)學(xué)生應(yīng)該可以想到間接設(shè)未知數(shù)，并能快速列出方程。

解法2：

解法1是學(xué)生理解本題的根本，當(dāng)學(xué)生正確地理解并能寫出銷售量8+x50×4時(shí)，難點(diǎn)即可突破。但不能回避的一個(gè)問題是：解法1所得到的方程：（2900-2500-x）8+x50×4=5000，數(shù)據(jù)大，并含有大分母，解方程很難，因此可以引導(dǎo)學(xué)生理解銷售量的變化是“以50為單位”變化的，若“設(shè)降了50a元”，得到的方程易列、好解，是個(gè)很好的選擇。

解法3：

有些學(xué)生選擇直接設(shè)未知數(shù)，對(duì)此題來說，在表達(dá)銷售量時(shí)的難度甚至超過了解法1，而且解方程也很復(fù)雜、難算。但學(xué)生的思維的方向與思維習(xí)慣不可能“千人一面”，所以課堂上也可根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度，為以后的此類問題的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

第五環(huán)節(jié)：鞏固訓(xùn)練

1. 某超市在服裝柜銷售中發(fā)現(xiàn)：童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。趨近“六一”兒童節(jié)的時(shí)候，超市決定采取適當(dāng)?shù)拇胧?，提高銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存，后經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝降價(jià)4元，平均每天可多銷售8件。要想平均每天的銷售利潤(rùn)為1200元，每件童裝應(yīng)降價(jià)多少？

解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)x元。

練習(xí)2 某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元售出，則每天可銷售200件，現(xiàn)在采取提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷量就相應(yīng)減少10件。要使每天獲得利潤(rùn)700元，請(qǐng)你幫助確定售價(jià)。

解：設(shè)漲價(jià)x元，根據(jù)題意，得：（10+x-8）200-x0.5×10=700

設(shè)計(jì)意圖：

練習(xí)1仍然設(shè)計(jì)表格幫助學(xué)生分析；練習(xí)2不再設(shè)計(jì)表格，學(xué)生可模范例題或練習(xí)1自行設(shè)計(jì)表格或直接分析題目中的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。通過這兩道問題的解決，查缺補(bǔ)漏，了解學(xué)生的掌握情況和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的程度。

總結(jié)：應(yīng)用方程解決實(shí)際問題一直是學(xué)生的“軟肋”，也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生不但要準(zhǔn)確地理解題意，熟練運(yùn)用等量關(guān)系，還要有較強(qiáng)的邏輯思維能力，對(duì)學(xué)生的要求很高，這就需要在教學(xué)中設(shè)計(jì)合理的教學(xué)過程，找到合適的教學(xué)方法，為學(xué)生鋪墊好上升的臺(tái)階，讓學(xué)生一步步形成解應(yīng)用題的思維方式和解題方法，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

作者簡(jiǎn)介：

李相娟，廣東省深圳市，廣東省深圳市龍崗區(qū)福安學(xué)校。endprint