數形結合在函數中的應用

摘要：近幾年，我國教育教學改革活動在各省市的中小學校都如火如荼地開展中，而函數作為高中數學中的重要教學內容也深受影響。對于很多高中生而言，數學學習中的函數知識點是相當具有難度的，相應的也增加了高中數學教師的教學難度。但經過深入研究調查之后發現，將數形結合的思想意識應用到函數知識教學中，很多數學教學難題都將迎刃而解，而高中生對于數學學習的積極性也將得到更加有效的提高。鑒于此，本文主要針對“數形結合在函數中的應用”這一主題內容進行淺析。

關鍵詞：數形結合；函數；應用；進行淺析

數形結合是解決數學函數問題的重要方法，很多相對抽象的函數利用數形也都會顯得更直觀。對于高中生而言，不僅能夠減輕自身的數學學習負擔，而且也將更深入的理解并學習數學知識。本文主要探討數形結合在函數中的應用等相關問題，其實也是希望當前高中數學教學改革進程能夠得到更有效的推進。

一、 關于數形結合在函數中的應用概況

1. 數形結合的基本定義

所謂數形結合，其實就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種思想。實現數形結合，常與以下內容有關：實數與數軸上的點的對應關系；函數與圖象的對應關系；曲線與方程的對應關系等。

2. 數形結合應用到函數中必須遵循的原則

想要借用數形結合有效解決函數教學，以及學習中遇到的問題，同樣需要遵循相應的原則。

首先是等價性原則，即數形結合的時候，代數性質和幾何性質轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞。

其次就是雙方性原則。這也就意味著除了進行幾何直觀分析，還要進行相應的代數抽象探求，如果僅對代數進行幾何分析，則很容易出錯。

除此之外，簡單性原則也是不容忽視的。具體運用時，一是要考慮是否可行；二要選擇好突破口，只有建立正確的關系，才能實現數形結合在函數題目中的有效轉化。三要懂得挖掘隱含的條件，以及準確界定參變量的取值范圍。

3. 數形結合在函數中的應用價值

函數問題極其復雜，而將數形結合應用到函數之中，學生也更能加深對函數知識的學習。比如：解決圓錐曲線的問題，數形結合就是有效的解決辦法。

二、 關于數形結合在函數中的應用

1. 數形結合在函數值域問題中的應用

數形結合在函數中的應用，能夠很清楚的顯示函數的形式，從而為探求解題途徑提供了思路。

比如：求函數y=x2-2x-3，x∈（-1，2）的值域是多少？仔細分析題目可知，所求函數為二次函數，由于此函數是非單調的，所以并不能代端點值去求值域，而是需要根據條件畫出相應的函數圖像。

借助圖像，很多的問題也就迎刃而解了，并得出具有區間范圍的該二次函數的圖像應為黃色區域部分，而此函數的最小值則是在對稱軸處取得，即當x=1時，y=-4，最終得到該函數的值域為：（0，-4）。

其實，這類求值域的函數問題對很多高中生而言都存在較大難度，一些成績較好的學生也時常出錯，通過這一函數例題的分析可知，培養學生數形結合的思想非常重要。

2. 數形結合幫助學生深入理解函數的意義

分析近幾年的高考數學，關于函數意義的題型比例有所增加，這也意味著基礎知識的掌握尤為重要。因此，高中數學教師應該借助數形結合幫助學生深入理解函數的含義。

以江蘇省某一年的高考試題為例：“已知函數f（x）=sinx+2cosx，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有2個不同的交點，求k的取值范圍。”學生想要有效解答這類題目，就必須根據函數解析式，建立相應的坐標系，并在坐標系中分析題目中的數量關系，從而才能更加準確地理解題目含義并實現快速解答。反之，如果對于函數的認識僅僅只停留在較為膚淺的層面，學生在解決相關函數問題的時候則常常會毫無頭緒。

3. 數形結合可以清楚認識函數量與量之間的關系

分析山東這幾年的高考數學試卷，關于函數性質相關知識的考查比重就占了30%，其中，讓學生犯難的就是“函數中量與量之間的關系”相關知識點。為了改變這樣的情況，教師完全可以將數形結合的教學思想滲透到學生腦海中，而借助直觀且形象的函數圖形，不僅能夠幫助學生充分理解函數知識，而且也能提高自身解決函數問題的能力。

比如：“已知方程x2-4x+3=m有4個根，求實數m的取值范圍。”深入分析此題可以很清楚的發現并不涉及方程根的具體值，只需要求根的個數即可，至于求方程根的個數問題，則完全可以轉化為求兩條曲線交點的個數問題來解決，即求解函數y=x2-4x+3與函數y=m圖象交點的個數。如此一來，原本抽象的數量變化關系也就變得十分具體了。

4. 數形結合快速比較出函數值的大小

關于函數值的大小比較，也是高考中很常見的題型，如果能夠利用數形進行比較，不僅能夠得到更加直觀性的認識，而且也利于相關問題的解決。

比如：判斷0.32，log20.3，20.3三個數間的大小順序，完全可以將這三個數看成三個函數：

y1=x2，y2=log2x，y3=2x并試想當x=0.3時，所對應的函數值應該是多少？之后再在同一坐標系內作出這三個函數的圖像，如圖：

從圖像中，可以很直觀地看出當x=0.3時，所對應的三個點P1，P2，P3的位置，從而可得出結論：

20.3>0.32>log20.3.

數形結合是高中函數解題中最常用的一種方法，其蘊含的思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖像有效結合起來，從而提高學生的解題效率。尤其是在面對一些重要考試的時候，這種思想的存在對學生的意義更是非同尋常。本文對此進行淺析，也的確是希望高中數學教師在實際教學過程中能夠加強學生的數形結合意識。

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作者簡介：李娟，甘肅省蘭州市，蘭州市第五中學。endprint