結合認知規律高效教學三角函數

摘 要：三角函數是高中數學中的重點與難點內容。在本文中，筆者根據多年的教學實踐經驗，針對學生們在學習三角函數這部分內容時經常遇到的困難和容易出現的錯誤，淺談了幾點高效教學三角函數的策略，旨在對癥下藥，提高課堂教學的有效性。

關鍵詞：高中；數學；三角函數

新課標強調，教師在教學時應當堅持以生為本，充分發揮學生的主體地位。因此筆者認為，教師開展課堂教學時，應當根據學生的實際情況與認知規律采取適當的教學策略。筆者通過教學實踐發現，學生們在學習三角函數這一章節時，普遍存在概念掌握不到位、對于三角函數公式變形的規律掌握不夠、綜合應用能力差等問題。針對這些問題，筆者在不斷的模式與實踐下，總結出了下述三點策略，與各位同行共享。

一、 理解與概括，適度抽象

正確理解相關概念是學生們應用三角函數解決問題的基礎，很多學生因為對概念的理解比較模糊或者存在偏差，導致在推理能力方面比較差，解決問題時常常思維阻塞。由此可見，強化概念教學是三角函數教學的重中之重，教師可以通過引導學生進行適度的抽象，提高學生們的理解能力與概括能力，深入數學本質。

比如筆者在對《任意角的正弦函數、余弦函數的定義》這一節內容進行教學時，通過一系列的提問，引導學生們通過自主探究，抽象概括出了任意角的正、余弦函數的定義。首先筆者向學生們提問道：“根據初中所學銳角三角函數的定義，大家說一下下圖1中∠A的正弦值和余弦值。”學生們迅速回答道：“正弦值為BC/AB，余弦值為AC/AB。”緊接著筆者提問：“∠A的正弦值、余弦值會隨著三角形的大小而發生改變嗎？”學生們通過探究發現，根據相似三角形的知識可知，只要角度確定了，無論角的邊長如何改變，正、余弦值都不會發生改變。隨后筆者引入了這節課的重點內容：“現在我們將角的范圍擴大到任意角，請同學們通過在直角坐標系中探究，重新定義一下正弦函數與余弦函數。”如圖2所示，α是平面直角坐標系中的任意角，點B是角α終邊上的一點，點B到坐標原點的距離記為r。學生們通過計算得到結論：sinα=y/r，cosα=x/r。緊接著筆者通過改變了角α的大小，得到了如圖3所示的變式。經過一段時間的思考與分析后，學生們得到了如下的結果：sinα=b/r，cosα=a/r。最后筆者引導學生們通過對上述問題進行概括，抽象出任意角正、余弦函數的定義：“既然我們已經知道，只要角度確定，角的邊長變化不會改變角的正余弦值，那么我們可以假設P、Q都是角α的終邊與單位圓的交點，即r=1。現在請大家試著總結一下任意角正、余弦函數的定義。”最后學生們成功抽象出了任意角正、余弦函數的定義，例如對于正弦函數來說，∠α與單位圓的交點P的縱坐標與圓半徑的比值叫做正弦，即sinα=y。

在上述教學活動中，筆者通過引導學生們自主探究，使他們成功抽象出了三角函數的定義，深化了學生們對概念的理解與認知，取得了很好的教學效果。

二、 局部與整體，聯系對比

數學的很多知識之間是相互聯系的，教師在教學時，應當有意識地引導學生們建立一個整體的意識，通過對相關知識進行多元的聯系與對比，促進他們學會把局部的知識放到一個更大的知識框架中進行理解與應用，提高數學素養。

比如在最后的總復習環節，為了讓學生們對數學知識建構一個完整的知識體系，能夠靈活應用三角函數解決復雜問題，筆者設計了相關例題引導學生們進行解答，使他們體會到三角函數與非三角函數部分之間的聯系。例如：已知x、y都是正實數，1/x+9/y=1，求解x+y的最小值。剛開始學生們都摸不著頭腦，找不到解題的思路，于是筆者提示道：“可以嘗試利用cos2α+sin2α=1這一性質。”在筆者的提示下，學生們假設cos2α=1/x，sin2α=9/y，那么x+y=1/cos2α+9/sin2α=10+tan2α+9/tan2α，最后利用基本不等式的相關知識可以得到10+tan2α+9/tan2α≥10+6=16（當且僅當tan2α=3時等號成立），即x+y的最小值為16。

在上述教學活動中，筆者通過有意識地引導，使學生們認識到了三角函數知識與其他知識點之間的聯系，提高了他們應用三角函數解決問題的基本能力，顯著提高了課堂教學的效率。

三、 抽象與綜合，學會反省

三角函數這章的公式較多且靈活性很強，學生們若不能將這些瑣碎的知識點整合起來，很容易造成綜合應用能力差的問題。筆者認為，教師采用傳統的灌輸式方法去幫助學生梳理整章的知識點遠不如引導學生自我整理效率要高，因此可以通過引導他們自我反省，促進他們提高自身的抽象與綜合能力。

比如筆者在對《正弦函數的性質》這一節的內容進行教學時，在基本完成教學目標后，筆者對學生們講到：“現在大家對這節課的內容做一個總結，你學到了什么知識，掌握了哪些數學思想？收獲了什么？”隨后筆者隨機選擇學生進行發言，例如有的學生談到：“我學會了用五點作圖法繪制正弦函數的圖像，掌握了正弦函數的值域是[-1，1]……”在該學生回答完畢后，筆者讓其他學生進行補充。例如有學生補充道：“我體會到了數形結合思想的巨大用處，比如在比較正弦值大小時，可以首先做出函數圖像，然后結合函數圖像實現快速地比較與判斷。”

在上述教學活動中，筆者通過引導學生進行自我反省與總結，促進他們對整堂課的內容進行了綜合與梳理，不僅使他們進一步鞏固了所學知識，查漏補缺，同時也加強了學生們的反省抽象能力，顯著提高了課堂教學的效率。

綜上所述，教師通過引導學生“適度抽象”“聯系對比”以及“學會反省”，能夠有效增強學生們對三角函數的理解與掌握，提高他們的思維能力，深化其數學素養！

參考文獻：

[1]張安濤，湯強.新課程背景下高中三角函數教學中的問題及對策[J].教育教學論壇，2013（37）：117.

[2]吳義平.高中數學三角函數教學要點分析[J].學周刊，2016（28）：8.

作者簡介：

張英，云南省曲靖市，富源縣勝境中學。endprint