等效電源法原理及應用

王利福+付艷明+郭繼成

摘 要：本文探討了物理等效電源法的基本方法和思想，并舉例說明了等效電源法在很多方面的應用，該方法能夠化繁為簡，巧妙解決物理問題。

關鍵詞：等效電源；戴維南定理；等效電動勢和內阻

一、 舉例說明電源的等效電動勢和等效內阻的求法

戴維南定理：任意線性有源二端網絡可用一個恒壓源與一個電阻的串聯來等效替換，恒壓源的電動勢等于被換網絡的開路電壓，串聯電阻的阻值等于被換網絡的“除源”（只除掉其電動勢而保留其內阻）網絡的等效電阻。

求解虛線框內等效電源的等效電動勢和等效內阻。

例1 圖1中等效電動勢E′=E，等效內阻r′=r+R1。

例2 圖2中等效電動勢E′等于外電路斷開時的路端電壓，即等于AB兩端接上理想電壓表時的示數，所以，圖2中的等效電動勢等于電阻R2兩端的電壓，E′=R2r+R2E。“除源”網絡的等效內阻r′等于r和R2的并聯總電阻，也等于將其短路后的等效電動勢除以短路電流，圖2（c）（d）中理想電流表的示數相同，I=Er（電流表將R2短路）=E′r′，計算得等效內阻r′=E′E·r=r·R2r+R2。

例3 圖3中等效電動勢E′=R2r+R1+R2E，等效內阻r′=（r+R1）·R2（r+R1）+R2。

例4 圖4中等效電動勢E′=E1R2+E2R1R1+R2，等效內阻r′=R1R2R1+R2。

求解等效電源電動勢：當AB間斷路時，流經兩電源的電流相等，設在兩電源組成的閉合回路里，電流順時針方向，大小為I，則UAB=E1-I·R1=E2+I·R2①，根據基爾霍夫定律E1-I·R1-E2-I·R2=0得I=E1-E2R1+R2②，將②式代入①式中得UAB=E′=E1R2+E2R1R1+R2。

求解等效電源內阻：當AB間短路時，流經AB的電流最大，Imax=E1R1+E2R2=E1R2+E2R1R1R2，又因為Imax=E′r′，所以等效內阻r′=R1R2R1+R2，即等于除源網絡R1和R2的并聯總電阻。

當E1=E2=E且R1=R2=r時，E′=E且r′=r2，本結論可以推廣到n個相同電源并聯的情況，其電動勢等于原電源（指每個）的電動勢，其內阻等于原電源內阻的1/n。并聯電源的好處不在于提高電動勢，而在于把負載電流平分給每個電源，從而減輕每個電源的負擔。所以，要提供大電流可用并聯電源，要提供高電壓可用串聯電源。

二、 舉例說明等效電源法的應用

1. 計算通過某一電阻的電流

例5 如圖5所示，已知E1=32 V，E2=24 V，R1=5 Ω，R2=6 Ω，R3=54 Ω，求各支路的電流。

解：由例4得E′=31211V，r′=3011Ω。根據I3=E′r′+R3得：I3=0.5 A，UAB=27 V；根據UAB=E1-I1R1得：I1=1 A；根據UAB=E2+I2R2得：I2=0.5 A，且向下流過R2。通過分析結果，發現流過R1的電流I1是干路電流，它等于流過R2和R3的這兩個支路電流之和，這說明電源E2和R2、R3一樣，相當于E1的用電器，在實際應用中，一般不將兩個電動勢不等的電源并聯起來給外電阻供電。

例6 如圖6所示，若電源與電阻R1、R2的參數均未知，當A、B端接入電阻R3時，測得通過R3的電流為Ix。當R3=10 Ω，Ix=1 A；當R3=18 Ω時，Ix=0.6 A，則當R3等于多少時，Ix=0.1 A？

解：由例3得，將虛線框內的電路等效成一個新的電源，就可以成功避開未知參數R1、R2，再根據題中已知，E′、r′、R3三個未知數，三個方程有唯一解。解得R3=118 Ω。

2. 計算可變電阻的最大功率

例7 如圖6所示，若已知E=6 V，r=1 Ω，R1=2 Ω，R2=6 Ω，求可變電阻R3等于多少時它消耗的功率最大？

解：由例3得E′=4 V、r′=2 Ω，所以當R3=r′=2 Ω時，它消耗的功率最大，P3max=2 W。

定性分析：當可變電阻R3的阻值接近等效電源的內阻時，其消耗的功率增大；遠離時，其消耗的功率減小。

3. 巧解電路動態問題

例8 在圖6中R3兩端電壓的變化量與其電流的變化量之比隨R3的增大/減小而怎么變化呢？

解：根據E′=U3+I3r′和E′=U3′+I3′r′得：ΔU3ΔI3=U3′-U3I3′-I3=r′，與R3的增減無關。

4. 計算可變電阻實際消耗的功率

例9 若將圖6中的電阻R3替換成已知伏安特性曲線的白熾燈泡L，且已知電源的電動勢E=100 V，r+R1=100 Ω，R2=100 Ω，白熾燈泡L的IU圖線如圖7中實線所示。求燈泡兩端的電壓和通過燈泡的電流以及燈泡的實際電功率。

解：由例3得E′=50 V、r′=50 Ω，根據函數關系式I=E′r′-Ur′=1-U50，作出等效電源的IU圖像，如圖7中虛線所示，與燈泡的IU圖像交于N點，從圖中讀出：IN=0.45 A，UN=28 V，計算實際功率得PN=UNIN=12.6 W。

對等效電源和燈泡只能列出兩個歐姆定律的方程，而本題有電壓、電流和電阻三個未知數，所以本題是無法通過計算法算出結果的，那么什么情況下才能使得燈泡兩端的電壓等于等效電源的路端電壓，流經燈泡的電流等于等效電源的干路電流？既然不能運用計算法，我們就借助圖像法，尋找等效電源的伏安特性曲線與燈泡的交點N，再從坐標軸上讀出數據來，這也是解決實際問題的重要方法。

5. 分析伏安法測定電源電動勢和內電阻的系統誤差

由例2得：采用圖8所示的電路，電動勢測量值E′=R2r+R2E小于真實值E，內阻測量值r′=r·R2r+R2也小于真實值r。

同理，由例1得：采用圖9所示的電路，電動勢測量值等于真實值，內阻測量值r′=r+R1大于真實值r。

通過前面的例題總結出：運用等效電源法解題的最大優勢就是利用等效電動勢和內阻是個常量，與外電路無關的特點，將復雜的混聯電路轉化為只有等效電源與某一外電阻串聯的簡單電路，從而實現題目的化繁為簡，化難為易，巧妙地解決了很多高中物理中的難題。

參考文獻：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2]王平杰.高中物理思想方法提煉與拓展[M].杭州：浙江大學出版社，2012.

作者簡介：

王利福，內蒙古自治區呼和浩特市，內蒙古工業大學理學院；

付艷明，郭繼成，內蒙古自治區呼和浩特市，內蒙古師范大學附屬中學。endprint