“引導·發現”式復習教學案例研究

☉江蘇省通州高級中學 嚴振君

學習是學生在教師引導下主動發現規律、方法的過程，“引導·發現”式教學不僅僅可以用于新授課，對于復習課也同樣適用，引導的目的是為了讓學生學會發現，在發現的過程中實現知識的再現，以及能力、素養的提升.本文結合《橢圓定義》的復習課為例就具體的教學組織實施談幾點筆者的看法.

一、創設情境，回顧初貌

學生在復習課前對數學知識已經有了學習，復習的目的在于引導學生回顧知識，實現知識的有效在線，有效的復習應該從具體的問題入手.

例如，《橢圓定義》的復習課，筆者首先借助于PPT在大屏幕上投影了一個具體的問題.

問題1：已知△ABC的兩個頂點A（-6，0），B（6，0），兩條邊AC和BC所在直線的斜率之積等于-，試求頂點C的軌跡方程，根據所得的方程形式指出其對應的圖形.

借助于這個問題能夠在復習伊始就凝聚學生的注意力，學生的思維：設C（x，y），由題設理可得其軌跡方程為，學生一眼即可看出該方程對應的是橢圓（當然不包含A、B）.

學生得出上述結論后，其實就已經完成了對“橢圓”復習的第一個步驟，順勢引導可以將學生的思維引向創新點上去，可以追加如下幾個問題.

問題2：你能否從得到的軌跡方程及已知條件出發，有什么新的發現？如軌跡方程與定點坐標、斜率乘積之間存在著怎樣的關系？

問題3：你能從上述分析出發，將命題一般化，編制一個新的數學問題嗎？

相當一部分學生能夠依葫蘆畫瓢，生成如下問題：已知△ABC的兩個頂點A（a，0），B（-a，0），兩條邊AC和BC所在直線的斜率之積等于-（a＞b），試求頂點C的軌跡方程.學生很容易得到所編問題的答案0），進一步可以得到橢圓的“定義”：“平面內到兩定點的直線斜率乘積為常數的點的軌跡叫做橢圓.”

二、順勢而導，有所創新

從學生復習總結出來的定義出發，我們還可以進一步挖掘.

例如，上述結論得到后，可以提出如下問題引導進一步往下思考，實現認知創新.

問題4“：橢圓定義”中的這個常數取值可以是任意嗎？

問題5：它的軌跡是整個橢圓嗎？

通過這樣的問題學生進一步歸納出“新的定義”：“平面內到兩定點A（1a，0），A（2-a，0）的斜率乘積等于常數-的點的軌跡加上A1，A2叫做橢圓，此時k1k2=-∈（-1，0）.

問題6：那么，今天得到的兩個“定義”與教材中我們前面學習的橢圓定義和橢圓標準方程之間存在著怎樣的聯系呢？

學生在回憶標準化方程的過程中將復習課上學生的得到的“定義”與標準化定義進行比較、分析，學生在思考其內在聯系時會主動搜索切入口，整個過程從學生的最近發展區出發有效延展，學生關注方程式變形時對應的幾何意義.

在學生復習的過程中，順勢引導學生學習橢圓的焦半徑公式，并滲透降維（化歸）思想.

三、精選例題，鞏固方法

數學課必須精選例題來促進知識、方法的內化，在基本知識和方法復習完畢后，本節課可以選擇如下三個例題引導學生在做題時完成思想方法的鞏固與應用.

例2 已知橢圓=1的焦點為F1，F2，橢圓上有一動點P，線段PF1的中點正好落在y軸上，求|PF1|與|PF2|的比值.

例3 已知△ABC的兩個頂點A（-6，0），B（6，0），兩條邊AC和BC所在直線的斜率之積等于，試著求頂點C的軌跡方程.

例1和例2旨在促進學生在應用規律的過程中進一步實現知識、方法的強化，例3相對于課上的問題1僅僅將-改為了，引導學生開啟了又一次有意義的探索.

四、教后反思

學生在學習“橢圓、雙曲線的第二定義”時，對于例子的證明，學生是完全可以勝任的，不過學生在“右準線”的產生原因上往往會感到難，困惑橢圓外為什么會出現如此一條直線，所以借助于該方式來定義橢圓，學生就會感覺“別扭”，有部分學生百思不得其解，甚至會感覺學習起來很茫然，為此切忌照搬教材，而應該從學生的認知基礎出發，將學生已有與之相近的知識經驗作為“固著點”向外發散，從焦半徑表達式入手找準線，這樣做固然有其優點，能夠將橢圓與拋物線的定義很好地銜接，同時又能夠兼顧曲線與方程的純粹性、完備性，不過問題就在于焦半徑公式的化簡不容易理解，它需要與橢圓方程聯立，計算較為煩瑣，本文從具體的問題出發，給學生帶來了一節以“研究”貫穿始終的課堂，完成重點知識的復習，從一個具體問題的探索引導學生發現橢圓的一個新的定義，然后回到橢圓標準方程的推導復習中來，在推導的過程中挖掘和進一步探索，學生自主發現多個橢圓的定義之間存在著的內在聯系及焦半徑公式的幾何意義，將多個重點、難點知識溝通在一起，形成了濃縮型的知識塊，學生對“橢圓定義”有了更為全面的理解，而且借助于具體的問題引導學生步步深入，有所發現，學生有充足的過程體驗，學習欲望有效激發，在發現進程中探究、應變的能力有所提升，不僅知識與方法獲得了進一步鞏固，學生還獲得了成功的喜悅，通過這樣的復習學生對圓錐曲線的相關知識有了更為清晰的認識，以后觸類旁通，將這種學習經歷與經驗遷移過來，有助于“雙曲線的第三定義和焦半徑公式”的推導，而且能夠主動地構建其與第一、第二定義間存在的內在聯系，這才是學習能力真正的提升.F