高考趣味邏輯型試題的幾種常用解法*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 李雪梅 趙思林

邏輯學是一門思維科學，它的研究對象是人的思維形式及規律.邏輯作為一門學科，主要有三個分支：形式邏輯、數理邏輯和辯證邏輯.趣味邏輯是一種形式邏輯，它從概念、命題、推理、邏輯基本規律等方面，通過通俗而有趣的故事介紹邏輯基本知識及其應用，展現邏輯的魅力.［1］邏輯可以培養學生的創新意識，展現邏輯魅力，提高學生學習邏輯的興趣，幫助學生打開邏輯知識的寶庫，錘煉學生駕馭邏輯工具的能力.［2］筆者曾看過《趣味邏輯》，它給人的感覺和印象是推理有趣、推理好玩，推理過程的思維量大、思維品質要求高但幾乎不需要算，趣味邏輯問題涉及到的推理一般具有趣味性、邏輯性、思考性、挑戰性和智慧性等特點.趣味邏輯推理深含數學文化意蘊.邏輯推理作為數學的核心素養，其思維方法、推理方法是學生終身受益的數學核心知識和核心素養，應予重視.［3］古今中外，在歷史上流傳著一些有趣的關于邏輯的故事，如祖沖之論月食，居里夫婦發現鐳元素，理發師的告示等.涉及趣味邏輯的試題，要求考生具有一定的數學視野，能讓考生認識數學在社會歷史發展中的獨特地位，體會數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，感受數學邏輯的魅力.

趣味邏輯型試題是教育部考試中心近年來開發的一種新的創新型試題，其特點是新穎有趣，多想少算，突出了數學的思辨性、邏輯性和創新性.近年來的考試比較重視對趣味邏輯的考查.趣味邏輯型試題是考查學生創新意識的好題型，但它在教材中并未出現過，加之這方面研究文獻很少，且解題思路靈活多變，使師生難以應對.本文總結了這類試題的幾種常用解題方法：圖表法、反證法、排除法、字母法、分析法及其他方法，并結合典型試題（問題）作了分析與評價.

一、圖表法

圖表法可分為兩種：一種是列表法；另一種是畫圖法.當題干中所涉及或所列出的事物情況包含的元素比較多，且這些元素之間又存在相互關系時，則可采用圖表的方法，從而快速找出答案.其中，列表法就是將題干中敘述關系用表格表示，理清元素之間的關系，從而得到答案的方法，畫圖法就是當題目中涉及的主要元素超過兩類，表格已經不能夠表示清楚時，或者涉及位置關系時，便可通過畫圖的方式來理清關系.

例1（2014年全國新課標Ⅰ卷文理）甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為________.

解析：將甲、乙、丙三位同學是否去過A，B，C三個城市的情況用表格表示出來，如下表所示：

A B C甲√×乙√×丙√

觀察表格，可以明確地判斷乙去過的城市為A.

點評：本題設計具有趣味性、新穎性和創新性，命題思路新穎別致、深含意蘊.本題要求學生多“思”.這里的“思”是指邏輯思維、逆向思維，具體是邏輯推理、反證法等.本題是一道能有效考查探究意識、創新意識和思維能力的優秀題目，也是一道考查數學核心素養十分難得的好題.此類問題的一般解法是用類似于列命題真值表的表格，把甲、乙、丙去過的三個城市A，B，C的情況全部列在一個表中，然后考察每種情況是否會產生矛盾，最后獲得正確結論.選A.

例2 伯誠、仲誠、叔誠、季誠是4兄弟.他們每人都有一個兒子和女兒，為了增進孩子們的感情，他們決定讓自己的孩子到其他家庭里度假，假期長三個月，孩子們每過一個月換一家，并且親兄弟不能在同一家生活，所以每一個月中，每一家都有接待一對男孩女孩，并且只能是堂兄妹，不是親兄妹.已知：第一個月中季誠的兒子在叔誠家；叔誠的女兒第二個月在季誠家；第三個月仲誠的兒子在季誠家，而季誠的女兒在伯誠家.請問：第一個月內，其余的男孩都在誰家度假？

解析：本題涉及的人物較多，且人物的關系也比較復雜，運用表格可簡化人物關系，達到化繁為簡的效果.因此，根據已知條件并推理可得到如下表格.

時間 伯誠家 仲誠家 叔誠家 季誠家第一個月 仲誠子 伯誠子 季誠子 叔誠子第一個月 叔誠女 季誠女 伯誠女 仲誠女第二個月 季誠子 叔誠子 仲誠子 伯誠子第二個月 仲誠女 伯誠女 季誠女 叔誠女第三個月 叔誠子 季誠子 伯誠子 仲誠子第三個月 季誠女 叔誠女 仲誠女 伯誠女

從而，得到結論：第一個月內，季誠的兒子在叔誠家，仲誠的兒子在伯誠家，叔誠的兒子在季誠家，伯誠的兒子在仲誠家.

點評：本題屬于趣味邏輯推理問題，問題的解答需要考生具備一定的邏輯推理能力，即數學核心素養.本題涉及的人物及其關系均比較復雜，借助表格可以理清人物關系，使問題的解答變得直觀、簡單.

二、反證法

反證法，又稱歸謬法，它是“間接證明法”的一類，是從反面的角度證明的方法.反證法首先要假設某命題的結論不成立，然后推出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證.法國數學家阿達瑪對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾.”

例3（2014年北京卷理）學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有（ ）.

A.2人 B.3人 C.4人 D.5人

解析：首先要證明：沒有任意兩個同學的數學成績是相同的.假設A，B兩個同學的數學成績一樣，由題知他們的語文成績不一樣，這樣他們的語文成績總有一個人比另一個人高，相應地，由題可知，語文成績較高的同學比另一個“成績好”，與已知條件“他們之中沒有一個比另一個成績好”相矛盾.因此得出，沒有任意兩個同學的數學成績是相同的.因為數學成績等級只有3種，因而同學數量最大為3.之后要驗證3個同學能否滿足條件.易證3位同學的成績等級分別為（優秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，優秀）時滿足條件.因此滿足條件的最多人數是3.故選B.

點評：本題具有較強的邏輯性和趣味性，重點考查邏輯推理與邏輯方法 （反證法）.題目以學生熟悉的語文、數學成績為背景，使考生在讀題和理解題意方面不存在障礙，從而考生可以集中精力并專注地考慮選擇什么邏輯方法進行邏輯推理，最后獲得正確的結論.本題的解答若采用反證法，則容易發現從假設出發推出的結論與已知條件產生矛盾，從而使問題獲解.

例4 某屆足球世界杯賽上，有法國、阿根廷、英格蘭、西班牙、德國、意大利六國球隊參賽，甲、乙、丙三位球迷對比賽結果做了預測，甲球迷說：“冠軍隊不是英格蘭隊.”乙說：“冠軍不是法國就是阿根廷.”丙說：“我認為西班牙、法國、意大利不可能為冠軍.”最后只有一個球迷預測對了，你知道誰是冠軍隊嗎？

解析：根據已知條件，甲球迷說：“冠軍隊不是英格蘭隊.”假設甲是對的，那么“冠軍不是英格蘭隊”就是對的，根據已知條件乙說：“冠軍不是法國就是阿根廷.”也預測英格蘭隊不是冠軍，這樣就有兩個球迷預測對了，與已知條件矛盾，于是假設甲是對的不成立，從而甲預測錯了，于是推出冠軍隊是英格蘭隊，進而可推出乙的預測是錯的，根據已知條件丙說：“我認為西班牙、法國、意大利不可能為冠軍.”這個預測沒有排除英格蘭隊是冠軍，所以丙的預測是對的.故冠軍隊是英格蘭隊.

點評：本題以學生喜歡的足球世界杯賽為情境，問題的設計新穎別致，并具有趣味性和邏輯性.本題采用反證法，可以快速找到答案.

三、排除法

排除法是利用選擇支錯誤，或題干與選擇支邏輯不相符，將錯誤答案排除而得出正確答案的方法，其常適用于解選擇題或選擇性填空題，通過“排除法”確定正確答案選項往往比直接確定正確選項要容易.

例5（2016年北京卷理）袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（ ）.

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

解析：因為題中沒有限定袋內球的具體個數，所以不妨設袋內紅球、黑球各有1個，當取出紅球放入甲盒時，黑球放入乙盒，此時丙盒內沒有球，排除A，D；當袋內紅球、黑球各有2個時，設第一次取出的兩個球都為紅色，第二次取出的兩個球都為黑色，則此時乙盒內有一個紅球，沒有黑球，丙盒內有一個黑球，沒有紅球，排除C.故選B.

點評：本題屬于趣味邏輯推理問題，考查了學生的邏輯分析能力.“不妨設袋內紅球、黑球各有1個”對簡化問題的解答過程至關重要.此外，“不妨設袋內紅球、黑球各有1個”這實質上用了特殊化法，這也是解選擇題和填空題常用的思維策略.

例6（2015年考研管理類聯考題）甲、乙、丙、丁、戊和己等6人圍坐在一張正六邊形的小桌前，每邊各坐一人.已知：（1）甲與乙正面相對；（2）丙與丁不相鄰，也不正面相對.如果己與乙不相鄰，則以下正確的選項是（ ）.

A.如果甲與戊相鄰，則丁與己正面相對

B.甲與丁相鄰

C.戊與己相鄰

D.如果丙與戊不相鄰，則丙與己相鄰

E.己與乙正面相對

解析：根據題意可得到圖1，因此，丙和丁的坐次只可能是1和2，3和4，4和3，2和1，由己與丙不相鄰可知，己只能在1或2，故丙和丁只能為3和4，4和3，如圖2和圖 3，由此可排除B、C、E三項.

對于A項，若甲與戊相鄰，則己與丁可能正面相對，也可能不正面相對，排除A.

對于D項，若丙與戊不相鄰，則戊只能在丙的對面，則己與丙相鄰，正確.

圖1

圖2

圖3

點評：本題屬于趣味邏輯推理問題，受到社會廣泛贊譽.本題主要考查邏輯推理能力、直觀想象能力、分析問題和解決問題能力，也考查了分類討論思想.而邏輯推理、直觀想象、分析問題和解決問題能力，以及分類討論思想等，也正是數學的核心素養.本題若不畫出圖形，并借助于圖形直觀，則較難解答.因此，可以認為本題是對數學核心素養的考查.

四、字母法

用字母去思考、分析、探究并解決問題是數學的基本方法.在數學里，通常采用數學符號、數學式子、程序、圖形等去描述或刻劃實際問題的本質屬性.

例7（2016全國新課標Ⅱ卷文）有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是________.

解析：將寫有1和2，1和3，2和3的卡片分別記為A，B，C，由甲的話可知甲、乙兩人的卡片不能是A和C卡片，則甲、乙可能取A和B或B和C，由丙的話可知丙取的不是C卡片，則甲、乙只能取B和C，丙取A卡片，又由乙的話可知乙取C卡片，則甲取B卡片，即甲取的卡片上的數字是1和3.

點評：本題屬于趣味推理問題.上述解析中“將寫有1和2，1和3，2和3的卡片分別記為A，B，C”，就是把3張卡片分別記為A，B，C，這里采用了字母法，可以簡化問題思維和解答的過程.

例8（2017全國新課標Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據以上信息，則（ ）.

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

解析：為了便于推理，將老師給甲、乙、丁看的成績列為表格如下.

甲乙丁乙、丙成績 丙成績 甲成績

記成績優秀為A，良好為B，則甲、乙、丙、丁四人的成績為兩個A，兩個B.

若甲看到的成績為AA或BB，則甲可知自己成績為B或A，而由題意，甲不知道自己的成績，因此，甲看到的乙、丙成績為一個A一個B，此時乙看到丙的成績為B（或A），便可知道自己的成績為A（或B），無法判斷甲，丁的成績；甲、丁二人的成績也必為一個A一個B，但甲無法判斷自己的成績，而丁可以通過看甲的成績判斷出自己的成績，但無法判斷乙、丙的成績.故選D.

點評：本題設計具有趣味性、新穎性和創新性，命題思路新穎別致、深含邏輯思維意蘊.解答本題的關鍵是用了字母法和表格法，而字母法和表格法的作用是簡化問題中的邏輯關系，優化思維過程.本題是一道考查邏輯思維能力和創新意識的好題目.

五、分析法

在不等式證明中，分析法是指從要證明的結論出發，每一步都去尋找使結論（或中間結論）成立的充分條件，直到歸結為一個顯然成立的事實（如已知條件、定義、真命題等）為止，從而證明論題的正確性、合理性的論證方法.廣義的分析法是指從結論出發去找條件（或從未知找需知，最終找到已知）的思維過程.分析法是解答趣味推理問題的常用方法之一.

例9 年終時，公司要評選出5名優秀員工來進行獎勵，A、B、C、D、E得了前5名.總經理對他們說：“祝賀你們當選，現在請你們猜一猜，你們的名次是怎么排列的？”A說：“B是第三，C是第五.”B說：“D是第二，E是第四.”C說：“A是第一，E是第四.”D說：“C是第一，B是第二.”E說：“D是第二，A是第三.”總經理笑著說：“你們每個人都猜對了一半.”聽他這句話，員工們就把名次弄明白了.請你想一想，前5名的順序是怎樣排列的呢？

解析：根據已知條件知，5人中只有一人猜C是第五名，推出C是第五名時，B是第三名錯；根據推測D說：“C是第一，B是第二”及C是第五名，推出C是第一錯，B是第二對；根據B說：“D是第二，E是第四”及B是第二，推出D是第二錯，E是第四對；根據E說：“D是第二，A是第三”及B是第二，推出D是第二錯，A是第三對；最后推出余下的D是第一名.

綜上，前5名的順序是：D——第一名；B——第二名；A——第三名；E——第四名；C——第五名.

點評：解答本題的關鍵在于根據已知條件推出C是第五名，其他員工的名次只需根據每人的預測推理即可得到.

六、其他方法

求解趣味邏輯型問題，除了采用前面提到的圖表法、反證法、排除法、字母法、分析法等方法，還可以采用其他方法求解，如：交點法、演繹推理法、特殊值法、映射法等.下面主要針對交點法和演繹推理法給出相關試題及其解析和點評.

例10 大客車在滬寧高速公路上行駛4h可從南京抵達上海.已知每隔半小時有一輛大客車從南京開往上海，同時也有一輛大客車從上海開往南京.一名旅客乘車從南京到上海，那么，他在整個旅行過程中可以遇到從上海開往南京的大客車多少輛？（包括在南京車站遇到的進站車輛、上海車站遇到的出站車輛）

解析：此題只需畫出示意圖（如圖4），問題就迎刃而解了.

圖4

該旅客前2h內（即行駛了一半路程）遇到8輛（含到達南京站的1輛），出發后2h正好遇到同時出發的上海開往南京的車1輛，接下來2h內又遇到8輛（含出上海站的1輛），總計17輛，正如圖4中的交點數.

點評：本題是關于運動的趣味應用題.求解本題的關鍵在于畫出示意圖，進而數圖中的交點數即可求解，對學生的思維能力、邏輯推理能力都有很高的要求.

以上趣味邏輯型試題，立意鮮明、背景深刻、情境新穎、構思巧妙，能有效考查學生的思維能力、邏輯推理能力和創新意識.在數學教學中，適當插入一些趣味邏輯的數學題目，可以擴大學生的數學視野，增加學生對數學學習的興趣，從而讓學生真正地感受到數學趣味邏輯的魅力.

1.徐德清.趣味邏輯［M］.濟南：山東人民出版社，2014.

2.趙思林，李雪梅.高考數學創新型試題的若干類型與點評［J］.內江師范學院學報，2018（2）.

3.崔靜靜，趙思林.高考數學文化型試題點評［J］.理科考試研究，2018（1）.F