從邏輯推理角度對中學幾何的研究

☉江蘇省梁豐高級中學 李曉艷

邏輯推理與數學有著密不可分的關系，數、形都是人類在實踐過程中抽象出來的概念，其數學對象表現形式非常簡單，與其他事物的物理性質沒有聯系，只單純地表現出客觀的事物特征及空間關系和形式，也就是說其是說明事理最理想的模型.邏輯推理的依據具有不同的思維方向，并且歸納整理、類比推理及演繹推理都各有不同，目前最嚴謹的就是演繹推理.

一、幾何意義及課程改革現狀

1.幾何學的意義

幾何具有較高的實用價值及自然價值.由于現實世界中人們所看到的物體都是物質形態，比數量關系更加直接和具體.形在自然中表示物體存在的外殼，能夠為人們直接提供臨摹.自然界中沒有標準的幾何圖形，但是在生活及實踐過程中，人們不斷構造出多種形狀的物品，這些物品的出現為人們提供了相互比較的機會，獲取了具有抽象意義的幾何圖形及能力，從而創建了幾何概念，在我們的生活過程中，處處充滿著立體幾何.

2.幾何課程改革現狀

我國《中學數學教學大綱》自制定到目前已經經歷了多次修改，這就體現了我國教育部門對于數學教育的改革在不斷地探索，對于現實社會的需求及社會的未來發展，選取在數學領域具有較高應用價值的知識，調整其內容結構.在新課程標準中，高中數學的改革滿足了人們的發展需求及社會進步的需求，首先，要求學生具有數學基本知識、技能及思想；另外，提高學生演繹證明、直覺猜想、空間想象、運算求解、體系構建等能力；最后，要求學生具有提出、分析及解決問題的能力，并且具有創新意識及數學應用能力.

幾何教育的主要價值就是：通過使學生學習立體幾何，以此提高自身把握空間及圖形能力，使其更好地理解及認知人類生存空間.［1］

二、從邏輯推理角度看中學幾何教學的改革研究

幾何教學不僅具有形象思維，還具有邏輯思維.在目前信息時代中，現實生活中越來越多的問題都需要通過計算機進行輔助處理，幾何圖形是一種待遇語言，編寫計算機程序的工作是非常普遍的.數學課程改革的基本理念就是發展性及基礎性，高中學生在義務教學階段實現了平面幾何的學習，為培養自身邏輯推理能力打下了良好的基礎，步入高中階段，學習立體幾何，能夠滿足自身發展及社會發展的需求.

數學新課程的基本理念就是面向學生，使每個人都能夠學到具有價值的數學，使不同的人能夠在學習數學知識之后得到不同的發展.總有人說幾何特別難學，其實將數學的美術形態轉變為學生容易接受的教育形態，那么幾何學起來就容易多了.［2］

例1（2017年江蘇高考數學試題第15題）如圖1，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD、BD上，且EF⊥AD.

圖1

（1）求證：EF∥平面ABC；

（2）求證：AD⊥AC.

分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行的判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾知識，如三角形中位線性質，以及利用柱體性質，如上下底面對應邊相互平行；（2）證明線線垂直，一般從線面垂直出發給予證明，而線面垂直的證明，可以利用面面垂直的性質定理.

證明：（1） 在平面ABD內，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.因為AB?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因為BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.因為AB⊥AD，BC，AD?平面ABC，BC∩AD=B，所以AD⊥平面ABC.又AC?平面ABC，所以AD⊥AC.

例2（2017年高考數學理（全國Ⅰ卷）第18題）如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

圖2

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD.

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角APB-C的余弦值.

分析：（1）利用線面垂直的性質即可求得；（2）建立空間直角坐標系即可.

解：（1）因為AB∥CD，CD⊥PD，所以AB⊥PD.

又因為AB⊥PA，PA∩PD=P，PA?面PAD，PD?面PAD，故而可得AB⊥面PAD.又AB?面PAB，故而平面PAB⊥平面PAD.

處理立體幾何問題，最大的難點在于空間想象力.學生在義務教育階段已經掌握了平面幾何的基礎知識，要進一步學好立體幾何，對于學生來說，可不是那么容易的事情.很多學生由于空間想象力不夠，一看到立體幾何就不知所措.而產生這種困難的原因是立體幾何比平面幾何的研究對象多了一個“面”，而多出的一個“面”，使得在平面幾何中點和直線之間的三種位置關系拓展為立體幾何中，點、直線、平面之間的六種位置關系.

因此，學好立體幾何，首先，應提高學生的空間想象力，要能根據畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀.其次，應熟練掌握好書本上的公理、定理及推論，因為書寫的規范性也是高考的重要考查點之一，在學習或解決立體幾何問題的時候，可以用手邊現有的筆、直尺、書本之類的東西搭出一個圖形框架，可以很好地幫助提高空間想象能力.第三，學好立體幾何，還應不斷提高各方面的能力.學習是一個不斷進步的過程，我們應不斷地將所學的內容結構化、系統化，從整體到局部、從高層到低層來認識，從所學的知識中悟出隱含的思想方法.同時，可以將同類型的問題結合起來，例如，線面平行與面面平行，線面垂直與面面垂直，通過比較它們的相同點與不同點，從而形成一個整體的知識體系.此外，還要注意解決問題的策略，將面面問題轉化為線面問題，再把線面問題轉化為線線問題等，從探索未知問題到發現已知問題，進而不斷提高學生分析問題和解決問題的能力.

上述列舉的兩個例題也是我們高中立體幾何中的典型題型，雖然例2的第（2）問不在我們2017年江蘇高考卷Ⅰ的要求范圍之內，但是跟卷Ⅱ的22題有異曲同工之處.

總之，立體幾何目前為高中生學習數學的阻礙之一，而空間立體幾何又能夠有效培養學生的邏輯推理能力及思維能力.在立體幾何教學中，我們運用的推理形式是演繹推理，演繹推理就是從一般性的前提出發，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個別結論的過程.但在立體幾何的教與學中，有時候也會遇到挫折，最主要的就是幾何較難演繹，容易忽視數學邏輯及系統性，從而將數學課程演變為了一種不連通的學科.初中階段的邏輯推理主要是平面幾何，而高中的立體幾何也是邏輯推理.故一味地講述抽象及嚴謹的概念，只會降低學生的學習興趣.

針對此問題，就要在學生具有分步驟寫證題的基礎上，培養學生周密思考的習慣，提高學生的邏輯推理及論證能力，使學生能夠全面掌握方法，從而尋找解題思路及途徑.另外，要求教師具備好的教學方法，以此激發學生的學習興趣，提高數學課堂的教學效率.我們可以通過三種方式進行：其一，創建教學情境.立體幾何來源于生活，又高于生活，在教學課堂中展示與生活息息相關的幾何模型，能夠有助于學生的理解，從而使學生更加容易地掌握知識；其二，要求學生自主參與到教學中，將學生熟悉的生活情境引入到學習內容中，使學生通過觀察、探究，從而發現幾何基本概念、原理的方法，以此全面掌握立體幾何知識.

三、結束語

中學教育為學生今后的學習及走入社會打下良好的基礎，并且培養了學生的能力.立體幾何教學作為高中數學教學中必不可少的一部分，是高考的必考內容，但立體幾何教學卻一直是高中數學教學中的難點，給老師教學和學生學習都帶來了很大的困難，因此，對立體幾何的研究顯得尤為重要.基于此，中學數學的改革就應該符合社會的發展趨勢及學生自身的特點，不應該墨守成規，也不能盲目地添加全新的知識.目前，我國在此課題中已經有了良好的研究成果，相信在今后，教育部門能夠編制出更加適合我國高中生及社會發展的教材，高中教師也能夠研究出良好的教學模式.

1.張萍.平面幾何教學中學生邏輯推理能力的培養［J］.課程教材教學研究：中教研究，2004（5）.

2.周茂生.幾何教學中學生邏輯推理能力的培養［J］.中學數學雜志（下），2005（4）.F