活用韋達定理，解決幾何難題

☉廣東省東莞市東華高級中學 張紅蓮

作為高中數學解析幾何中的重點難點，圓錐曲線問題在高考中屢見不鮮，這也是令大多數學生感到頭疼的一類問題.所以對這類相關問題進行詳細解析非常有必要，教師應該做到庖丁解牛般分析問題，讓學生從根本上理解和掌握這類問題，而韋達定理的運用對于解決這類問題至關重要，通過靈活地運用韋達定理，必然能夠很好地解決圓錐曲線相關的解析幾何難題.

一、真題呈現

例1 如圖1所示，已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1，它的圓心為點M.

（1）求點M到拋物線C1準線的距離；

（2）已知點P是拋物線C1上異于原點的一點，過點P作圓C2的兩條切線，并且使切線交拋物線C1于點A和B，如果經過點M和點P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

二、試題點評

本題主要考查圓錐曲線問題的應用，通過將拋物線與圓相結合，綜合考查了解析幾何的相關知識.對于第（1）問的解答，并不存在太大的問題，只要先求出拋物線準線的方程，再利用圓心的坐標M（0，4），可以輕松得到圓心到拋物線準線之間的距離.而對于第（2）問，解決問題的途徑有許多，主要有三種方法：①M的坐標已知，設直線l的斜率為k，利用斜率求方程；②利用兩點式，設P的坐標然后求解；③確定AB的斜率，然后確定要求的斜率，分析后再求解.綜合分析這三種方法，經過對比之后可以發現第①種方法需要求出P的坐標，再求切線方程會復雜，過A、B兩點的斜率計算量太大，而第②種則較為簡單，可以大大提高解題效率，第③種方法實際上并不可行.所以綜合比較之后采用第②種方法求解最為合理，即由P點出發，設出切線的斜率，再利用韋達定理找到直線斜率與P點坐標之間的關系，繼而求出P點的坐標，求出P點的坐標之后，直線l的方程自然容易解出.

三、試題解析

本題的關鍵在于未知數的設定以及一元二次方程的構造，接著可以運用韋達定理，構造相應的等量關系，從而求出未知數的值.韋達定理的使用大大提高了解題的效率，讓解題能夠做到有的放矢.本題若不能夠靈活運用韋達定理，解題的過程將會十分煩瑣，浪費寶貴的時間以及精力，為了能夠鞏固知識，筆者接著再介紹一道運用韋達定理解決圓錐曲線問題的例子.

四、試題延伸

（1）求出橢圓M的方程；

（2）如果橢圓上有兩點P，Q，使得∠PBQ的角平分線垂直于AO，請問是否存在實數λ（λ≠0）使得說明理由.

問題解析：對于問題（1），通過離心率的值和B點的坐標，易得橢圓M的方程為.對于問題（2），可以采用“設而不求”的方法，設直線PB的斜率為k，那么根據∠PBQ的角平分線垂直于AO，即垂直于x軸，所以QB的斜率為-k，因此可以設出PB，QB的直線方程，即y=k（x-1）+1和y=-k（x-1）+1.由（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0①，由于直線PB與橢圓有2個交點，所以方程①有2個實根，那么Δ＞0，得

又因為點B在橢圓上，所以x=1是方程①的一個實根，可設P（xP，yP），Q（xQ，yQ），再根據韋達定理，得xP×1=可得直線PQ的斜率的坐標為（2，0），C點的坐標為（-1，-1），易得直線AC的斜率為，所以k=k，故向量與向量平行，所以PQAC存在實數λ（λ≠0）使得

本題的解題思路與第一道例題是相似的，只是將拋物線換成了橢圓，但是問題的本質是一樣的.解題的關鍵依舊是一元二次方程的構造以及韋達定理的靈活運用，接著找到相應的等量關系，解出所要求的未知數.

五、總結提高

圓錐曲線問題一直是高中數學中的重點難點，在每年的高考中都會有考查，而且一般是以壓軸題的形式出現，順利地解決這類問題需要學生具有較強的數學能力.但是這類問題的解決是有一定的套路的，一般是先將點的坐標設出，采用設而不求的方法，得到相關的一元二次方程，再利用韋達定理找到其中的關系，最終解決問題.這種方法對學生的基本運算能力提出了比較高的要求，煩瑣的計算需要學生有扎實的基本功，因此學生在平時的高考復習中需要進行大量的基本功訓練，只有通過不斷的訓練，才能提高自己的數學能力，從而在高考中取得優異的成績.

1.吳興國.解決圓錐曲線問題的一把“利器”——談“設而不求”思想在解析幾何中的妙用［J］.中學數學（上），2014（1）.

2.姜坤崇.巧解圓錐曲線中的“焦點分弦所成比”問題［J］.中學數學（上），2011（11）.

3.嵇廣陽.橢圓重要考點分析及解題策略［J］.數學教學通訊，2016（7）.H