高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)值得注重之“五環(huán)”

☉安徽省臨泉一中 張凱華

新課程理念指導(dǎo)下的教學(xué)對(duì)于學(xué)生的發(fā)展、學(xué)生解題能力、學(xué)習(xí)興趣等諸多方面更為關(guān)注，高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的有效組織也因此成為新課標(biāo)理念下數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)令人關(guān)注的重要問(wèn)題.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與案例對(duì)高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)作出了一定的思考與研究.

一、注重提煉思想方法

數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與記憶因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的牢固掌握與運(yùn)用而變得更加簡(jiǎn)單，因此，教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行體會(huì)和提煉，并在數(shù)學(xué)思想與方法的啟迪中逐漸提升自己數(shù)學(xué)解題的綜合能力.

例1 已知方程2sin2x-cosx-a=0有實(shí)根，求參數(shù)a的取值范圍.

學(xué)生自主思考，易得：令t=cosx，原方程即為2t2+t+a-2=0，t∈［-1，1］，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：方程2t2+t+a-2=0在［-1，1］內(nèi)至少有一實(shí)根，求a的范圍.

解法二：原題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)a=-t2-t+2的值域，t∈［-1，1］，易知-1≤a≤

解法三：原題轉(zhuǎn)化為：求a的取值范圍，使y=a與拋物線y=-2t2-t+2（t∈［-1，1］）相交.由數(shù)形結(jié)合法，易知-1≤a≤.

解法四：設(shè)f（x）=2x2+x+a-2，原題轉(zhuǎn)化為f（x）在［-1，1］內(nèi)與x軸有交點(diǎn)，借助函數(shù)圖像易得解法一.

解法一的關(guān)鍵在于三角方程語(yǔ)言向代數(shù)方程的轉(zhuǎn)化并最終轉(zhuǎn)化成解不等式，方程與不等式的轉(zhuǎn)化思想在整個(gè)解題過(guò)程中得到了充分的體現(xiàn).解法二則運(yùn)用分離參數(shù)將原方程有解轉(zhuǎn)化成了函數(shù)值域問(wèn)題進(jìn)行了求解.解法三、四則分別運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)的思想方法使得問(wèn)題由抽象變得具體最終得以解決.

教師在一題多解的這一案例的解決中不斷啟發(fā)學(xué)生并得到了以上四種解法，教師在四種解法得以呈現(xiàn)之后又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這幾種解法進(jìn)行比較與評(píng)價(jià)，最終得到數(shù)學(xué)思想與方法的巧妙運(yùn)用使得解法二、三、四更為簡(jiǎn)便與快捷的結(jié)論.

事實(shí)上，此題還可以通過(guò)設(shè)定兩個(gè)未知數(shù)來(lái)轉(zhuǎn)化原題，教師可以將這一方法進(jìn)行一定的引導(dǎo)并讓學(xué)生在課后繼續(xù)探索，這樣的解題注重的是數(shù)學(xué)思想方法在具體運(yùn)用中的提煉過(guò)程，是對(duì)學(xué)生思維進(jìn)行不同角度的鍛煉與拓展過(guò)程.

二、注重暴露探索過(guò)程

德國(guó)教育家第斯多惠曾發(fā)表過(guò)教師應(yīng)“教人發(fā)現(xiàn)真理”的著名觀點(diǎn).高中數(shù)學(xué)教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)注重解題途徑的探尋過(guò)程，讓學(xué)生在“為什么這么做”的問(wèn)題引領(lǐng)與思考中不斷嘗試與探索，并最終在認(rèn)知沖突、思維觸動(dòng)、交流與反思中形成正確的思維.

例2 求證：正四棱錐底面上任意一點(diǎn)到其各個(gè)側(cè)面的距離之和恒定不變.

分析與嘗試：①根據(jù)題意嘗試作一點(diǎn)P及其到各側(cè)面的距離，該點(diǎn)毫無(wú)規(guī)律性，故而嘗試失敗.②勉強(qiáng)作出每一個(gè)距離但無(wú)法確定其長(zhǎng)度大小，與解題無(wú)法聯(lián)系因而失敗.

教師在學(xué)生的兩次失敗嘗試之后開始引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變視角進(jìn)行思考：如果不作距離轉(zhuǎn)而在“和”字上做文章可否突破呢？如果學(xué)生仍然不能求得突破，教師可以追問(wèn)：你們?nèi)绻麑?duì)原命題進(jìn)行降維思考能得到怎樣的命題呢？怎樣證明？可有什么啟示？

學(xué)生在一系列的嘗試與教師的點(diǎn)撥中逐步獲得了正確的解題方法，也很快明白了換角度思考解決問(wèn)題的普遍規(guī)律.因此，教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生對(duì)題目的分析、推理與方法選擇，使得探索解決問(wèn)題的過(guò)程能夠暴露出來(lái)并讓學(xué)生體驗(yàn)到思維的碰撞與轉(zhuǎn)變.

三、注重學(xué)生思維選擇

教師在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生真正袒露其解題的思維和過(guò)程，并根據(jù)學(xué)生所反饋出的思維信息進(jìn)行及時(shí)的點(diǎn)撥、糾正與引導(dǎo)，盡量使學(xué)生在自身的思維軌道上產(chǎn)生更多的生成性信息，即使面對(duì)與自身思維相違背的學(xué)生反饋，教師也應(yīng)該盡量換位思考去了解學(xué)生心中所想，并因此獲得最適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)手段和方法，學(xué)生也因此在分析與比較中學(xué)會(huì)了解題方法的選擇.

思路4：在思路3的基礎(chǔ)上利用sin210°+cos210°=1實(shí)施“1”的代換（受阻）.

教師面對(duì)學(xué)生的這幾種解題思路應(yīng)該尤其關(guān)注解題受阻的的學(xué)生是因何原因而致解題不順，引導(dǎo)學(xué)生在自身的思路基礎(chǔ)上繼續(xù)思考，使基礎(chǔ)不同、思路各異的學(xué)生在自身思考的基礎(chǔ)上都能獲得一定的思維突破并逐步建立解題的信心，學(xué)生在教師的點(diǎn)撥之下很快利用代換、和差化積公式等思路使該題求解，還有學(xué)生針對(duì)分母系數(shù)為2的特點(diǎn)對(duì)該題進(jìn)行了新的求解：

學(xué)生在這樣的解題探究中真正明白死搬硬套公式在此題的求解中是不可取的，此題的解決必須在充分挖掘已知角之間、已知角與特殊角之間關(guān)系的基礎(chǔ)上靈活地選用三角公式才能實(shí)現(xiàn).

四、正視通法與巧法的關(guān)系

解決問(wèn)題尤其是某類問(wèn)題時(shí)所運(yùn)用的具有普遍意義的方法我們稱之為通法.以基礎(chǔ)知識(shí)為依據(jù)、基本方法為技能的通法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用合乎一般的思維規(guī)律并能為全體學(xué)生所掌握.

著眼于“巧”和提高的巧法是在靈活運(yùn)用雙基的基礎(chǔ)上對(duì)已知條件的巧妙綜合與使用.教師在日常教學(xué)中應(yīng)認(rèn)識(shí)到通性通法的普遍性、基礎(chǔ)性以及巧法的靈活性與狹隘性并因此樹立立足通法、兼顧巧法的態(tài)度.

比如，教師在無(wú)理不等式的教學(xué)中往往會(huì)比較重視數(shù)形結(jié)合方法的教學(xué)與運(yùn)用，去根號(hào)這一基本方法卻往往因此被大家所忽視.當(dāng)學(xué)生在y=、y=g（x）等圖像難以呈現(xiàn)時(shí)往往因?yàn)檫\(yùn)算基本功沒(méi)有得到應(yīng)有的訓(xùn)練導(dǎo)致解題出錯(cuò).因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)對(duì)學(xué)生加強(qiáng)基本思想方法的訓(xùn)練并在此基礎(chǔ)上向特殊技巧過(guò)渡，學(xué)生的思維才能在扎實(shí)的掌握與理解這一基礎(chǔ)之上得到逐步的深化.

五、注重辨析錯(cuò)誤

教師有目的、有針對(duì)地對(duì)學(xué)生解題時(shí)的典型錯(cuò)誤進(jìn)行暴露往往能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)要素與規(guī)律的進(jìn)一步理解，學(xué)生再次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究并找出錯(cuò)誤的癥結(jié)所在才能真正達(dá)成治標(biāo)又治本的根本目的.

比如，學(xué)生在解決一些含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)往往會(huì)忽視限制條件的挖掘而導(dǎo)致解題出錯(cuò).筆者在圓錐曲線的教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的這一實(shí)際情況給出了這樣一個(gè)問(wèn)題.

筆者面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤并沒(méi)有急于糾正，而是將問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化：假設(shè)p趨向正無(wú)窮大且圓半徑保持不變，將圓心沿著x軸往正方向無(wú)限移動(dòng)的同時(shí)拋物線的開口越來(lái)越大，兩者之間必然會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的現(xiàn)象.此時(shí)，學(xué)生的解題與教師的直觀化假設(shè)出現(xiàn)了矛盾，教師隨即引導(dǎo)學(xué)生對(duì)矛盾的根源進(jìn)行了探究并獲得了正解.如果對(duì)學(xué)生的解題錯(cuò)誤進(jìn)行正確的處理將會(huì)展現(xiàn)出教師高超的教學(xué)藝術(shù)，學(xué)生也能從錯(cuò)題中獲得更多的體驗(yàn)與感悟并因此提高解題準(zhǔn)確率.

高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)作為一門科學(xué)也應(yīng)該有其藝術(shù)性的處理與展現(xiàn)，只有這樣，才能使學(xué)生在獨(dú)立的創(chuàng)造性活動(dòng)中發(fā)展自身思維并因此促成自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)良好品質(zhì)的形成與發(fā)展.H