以二次函數為例談高中數學的延展建構

☉江蘇省蘇州市吳江平望中學 沈亞平

“最近發展區”理論要求我們立足于學生的認知基礎來設計教學，引導學生按部就班地完成數學的學習.在教學中，筆者發現通過學生初中已有的二次函數認知基礎，能夠高效促進很多高中數學知識的建構，這樣的教學能幫助學生完善認知體系，實現能力提升.

一、結合二次函數的解析式，進行函數概念教學

學生在初中階段已經學習過函數，在高中階段他們還要結合集合與映射對函數進行重新定義，即用映射的觀點來說明函數.教學中我們可以將二次函數作為學生的認知橋梁，重新認識函數的概念.

我們用映射來理解二次函數，即一個集合A到另外一個集合B的映射f：A→B，使得B中的每一個元素y=ax2+bx+c（a≠0）都與A中的元素x存在對應關系，記作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.其中“ax2+bx+c”就是對應法則，也表示定義域中的每一個元素在值域中的象，這樣的說明能夠為學生在認識函數概念時提供一個相對較為明確的認識，而且在學生對函數值的表示有所認識之后，我們還可以引導學生研究以下問題：

例1已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

上述問題在處理時，可以將f（x+1）理解為自變量等于“x+1”的函數值.

變式：已知f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

在對應法則f下，定義域中的元素“x+1”的象就是“x2-4x+1”，要反過來求元素“x”的象，其問題的本質就是求解對應法則，以下介紹兩種做法：

（1）將所提供的表達式寫成關于“x+1”的多項式；

（2）代換處理：設t=x+1，則x=t-1，因此有f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6.

通過以上問題的分析，學生將對函數概念形成全新的認識，這其中也滲透著化歸和轉化的數學研究思想.

二、結合一元二次方程，引導學生進行模塊化思維

學生對于一元二次方程的學習較為離散，為了幫助學生更好地掌握對應知識，并形成模塊化認識，我們可以這樣來進行教學.

現有一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過配方可

探究一：如何通過系數來推斷方程根的個數？（研究根的判別式）

探究二：如何從方程的根來探求方程系數的特點？（回憶韋達定理）

探究三：怎樣結合一元二次方程與二次函數來研究一元二次不等式？

探究三的處理可以結合一個具體的二次函數來進行，比如，有二次函數y=x2+2x-3，我們讓學生畫出對應的圖像，并指導學生觀察函數圖像上y=0時所對應的x取值分別為1和-3；當y＜0時，則-3＜x＜1.通過以上的分析和處理，學生將逐漸了解初高中數學之間的關聯，同時這也幫助學生找到了數學學習的方法，他們由此認識到不等式應該是等式的一種延展，而且解不等式與解等式還存在一定的差別.比如，學生會輕松解得x2+2x-3=0的兩個根是1和-3，但是在處理不等式x2+2x-3＜0時，他們會錯誤地解出x＜-3或x＞1，這時我們就有必要讓學生知道在處理不等式問題時函數圖像的重要性，數形結合的思想在此得到滲透.

通過以上問題的處理，我們以一元二次方程為結點，引導學生結合對二次函數的認識來搭建相應的知識網絡，通過學生模塊化的思維將相關知識進行了系統化的整理，這樣的處理有助于學生將已有認知融會貫通.而且學生還將更加清晰地把握問題的結構和本質，并由此形成問題解決的辦法和策略，這樣的處理可以讓他們深度領會知識之間的關聯，進而讓他們體會到數學知識發展的脈絡.

三、研究二次函數的單調性，發展學生的知識遷移能力

對于函數的單調性，學生在初中階段實際上是有所認識的，只不過沒有進行嚴謹的數學訓練而已.到了高中階段，學生要建構單調性的概念，并從多個角度對單調性進行認識，這樣的處理有助于學生強化對已有認識的理解，而且配合新學概念，他們的認識還將更加深刻而嚴謹，當然新舊知識的融合還將訓練學生的知識遷移能力，學生也將由此感受到初高中數學學習的緊密關系.

關于二次函數（fx）=ax2+bx+c（a≠0），學生在初中階段已經認識到，當a＞0時，在其對稱軸x=-的右側，y將跟隨x的增加而增加，我們可以據此引導學生建立增函數的定義：如果對于某定義域內的某個區間D上任意兩個自變量x1和x2，當x1＜x2時，有（fx1）＜（fx2），這表明函數在該區間D上為增函數.

二次函數（fx）=ax2+bx+c（a≠0），當a＞0時，其單調增區間為 [-，+∞ ）；當a＜0時，其單調增區間為 （-∞ ，-].由此可見，二次函數的單調性與a的取值情形以及對稱軸有關，這里包含著分類討論的思想.教師可以通過下面的問題來訓練學生的思維遷移能力.

例2求二次函數f（x）=x2-12x+3的對稱軸和單調區間.

變式一：已知二次函數f（x）=x2+4ax+2在區間（-∞，6）上為減函數，在（6，+∞）上為增函數，請確定a的取值.

變式二：已知二次函數f（x）=x2+4ax+2在區間［2，4］上為單調函數，請確定a的取值.

學生通過上述問題的處理，將結合初中已學知識來同化高中數學的新內容，這也將在一定程度上激活學生的求知欲望，同時學生原有的固定且單一的數學思維也將由此而發生進化，他們將逐漸適應放散且動態的高中數學思維，而且他們也將更加深刻地體會到高中數學的獨有魅力.

四、分析二次函數的最值，引導學生發展多維思考能力

相比于初中階段，高中數學更加復雜且靈活，而且高中數學問題的處理尤其需要學生展開多維思考，從而對問題形成更加全面且深入的認識.

初中生已經對二次函數的最值有所認識，對一個二次函數（fx）=ax2+bx+c（a≠0）來講，學生知道當函數有最值

探究一：圍繞初中函數最值的認識來研究高中某變化函數的最值.

例3 已知二次函數y=x2-2x-2，x∈R，求該函數的最值.

變式一：已知二次函數y=x2-2x-2，請分別確定當x∈［-2，0］，x∈［0，2］時函數的最小值和最大值.

變式二：已知二次函數y=x2-ax-2，求函數在x∈［0，2］上的最小值和最大值.

探究二：從二次函數最值出發研究恒成立問題.

設（fx）=ax2+bx+c（a≠0），（fx）＞0在全集R上恒成立

例4已知f（x）=x2+2（a-2）x+4.

（1）若對于一切x∈R，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（最值）

（2）若對于一切x∈［-3，1］，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（最值）

（3）若對于一切x∈［1，2］，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（參數分離）

（4）若對任意a∈［-1，1］，f（x）＞0恒成立，請確定實數x的取值范圍.（換元）

學生通過上述問題的處理和比較，將總結出基本的解題策略，他們會逐步地由初中單一的知識體系過渡到高中多維的知識體系，并在對比中發現更快的解題策略.以上問題大多與二次函數有關，但是由于題設的變化，問題的內涵已經有所調整，因此學生在問題的處理中需要靈活地進行應對.

綜上所述，教師要讓學生認識到高中階段的學習其實是初中數學的有效延伸和拓展，從學生熟悉的二次函數出發來創設情境引導學生建構高中數學學習，這樣的處理將充分利用學生的基礎，將學生的認知發展和智慧提升導向更高的層次.

1.朱松林.變式延伸從最近發展區開始［J］.中學數學月刊，2013（1）.

2.李紅婷.數學問題解決教學設計及其實施策略［J］.數學通報，2007（6）.F