高考中的新定義問題

☉江蘇省口岸中學 陳 岑

從2018年高考數學《考試大綱》可以看出，考綱堅持對五種能力（空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力）和兩種意識（應用意識、創新意識）的考查，這是數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養在高考中的體現.而新定義型問題，是指給出相關材料，設計一個相對陌生的數學情景，新定義一個數學問題（新概念、新性質、新運算等），并給出已定義的新概念、新性質、新運算所滿足的條件，要求同學們應用所學的數學知識和方法遷移到這段材料中從而使問題得到解決的一類題.往往是創新意識最突出的表現，是每年高考中的亮點之一，也是命題者青睞的熱點之一.

一、新規范

通過創新規范，規范相應的集合、函數、數列等所對應的元素、自變量、通項等，結合相關知識加以邏輯推理，進而通過創新思維來分析問題與解決問題.

例1 （2016·全國Ⅲ理·12）定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有（ ）.

（A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個

分析：根據數列新規范，先確定數列的首項與末項，再利用中間項的特征，結合排列與組合思維，通過間接法來確定.

解析：根據定義，{an}的首項必為0，末項必為1，

若m=4，則該數列{an}有8項，其中4項為0，4項為1，

那么下面只要考慮a2到a7的情況即可，從6項中選3項填0有=20個，

排除掉不滿足條件的有：以111開頭的有1個（000），以110開頭的有3個（100、010、001），以101開頭的有1個（100），以011開頭的有1個（100），

所以不同的“規范01數列”共有20-6=14個，故選C.

點評：解決此類創新規范問題的關鍵：一是明確創新規范的內容，一般涉及相應的集合、函數、數列等所對應的元素、自變量、通項等；二是根據規范確定相應之間的關系，建立相應的聯系（包括關系式、不等式等）；三是借助相應的方法來處理解決，并回歸創新規范實質加以驗證，從而得到創新與應用.

二、新性質

通過創新性質，可以直接利用創新性質來確定相應的要素，也可以用創新性質來轉化達到判斷相關知識的常規性質等，重在知識點的交匯與綜合，性質間的化歸與轉化.

例2（2017·山東文·10）若函數exf（x）（e=2.71828…是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質.下列函數中具有M性質的是（）.

（A）f（x）=2-x（B）f（x）=x2

（C）f（x）=3-x（D）f（x）=cosx

分析：通過創新性質可知，若函數f（x）具有M性質，則有f（x）+f′（x）＞0恒成立，結合各選項中f（x）+f′（x）的取值情況加以分類討論，進而確定具有M性質的函數.

解析：由題目條件可設g（x）=exf（x），則有g′（x）=ex［f（x）+f′（x）］，結合題目條件可得f（x）+f′（x）＞0，

選項A中，f（x）+f′（x）=（1-ln2）2-x＞0恒成立，則函數f（x）=2-x具有M性質；

選項B中，f（x）+f′（x）=x2+2x＞0不恒成立，則函數f（x）=x2不具有M性質；

選項C中，f（x）+f′（x）=（1-ln3）3-x＜0恒成立，則函數f（x）=3-x不具有M性質；

選項D中，f（x）+f′（x）=cosx-sinx＞0不恒成立，則函數f（x）=cosx不具有M性質.

故選A.

點評：解決此類創新性質問題的關鍵是建立題目條件中的創新性質與相應知識的常規性質之間的聯系，構造相互之間聯系的橋梁，利用常規性質來分析與解決問題，從而朝著創新性質的角度轉化，達到創新意識的培養、創新能力的提升的目的.

三、新構造

通過創新構造，根據題目條件構造相關的對應關系、關系式或不等式等，通過新構造的關系來轉化與處理，結合特例、構造模型等方式來分析與解決問題.

例3 （2016·四川文·15）在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身.現有下列命題：

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；

②單位圓上的點的“伴隨點”仍在單位圓上；

③若兩點關于x軸對稱，則它們的“伴隨點”關于y軸對稱；

④若三點在同一條直線上，則它們的“伴隨點”一定共線.

其中的真命題是______（寫出所有真命題的序號）.

分析：根據創新構造的“伴隨點”，①和④通過舉特例來加以排除；②中通過單位圓上的點的“伴隨點”的坐標關系進行計算，從而得以確定；③中通過兩點關于x軸對稱時所對應的“伴隨點”的坐標來確定.

解析：對于①，設A（2，0），則點A的“伴隨點”是點A′（0， -），而點A′的“伴隨點”是點（-2，0），與A不同，則①是錯誤的.

對于②，設單位圓C：x2+y2=1上的任意點P（x，y），其“伴隨點”是點P，即點P′仍在單位圓上，則②是正確的.

對于③，設任意點P（x，y）的“伴隨點”是點而點P關于x軸對稱的點P1（x，-y）的“伴隨點”是點顯然點P′與點P1′關于y軸對稱，則③是正確的.

對于④，設同一條直線上的三點A（2，0），B（0，-1），C（4，1），它們對應的“伴隨點”分別為A′（0，-），B（′-1，0），顯然此三點不共線，則④是錯誤的.故填②③.

點評：解決此類創新構造問題的常見思維：一是通過舉出特例，包括特殊點、特殊函數、特殊數列、特殊圖形等方式來說明；二是通過邏輯推理，結合創新構造的關系建立相應的關系式等來化歸與轉化，進而得以判斷.有時多種思維方式并用，綜合來處理與判斷此類創新問題.

四、新概念

通過創新概念，以集合、函數、數列、解析幾何等的常規知識為問題背景，直接利用創新概念的內含來構造相應的關系式（或不等式等），結合相關知識中的性質、公式來綜合與應用.

例4 （2017·江蘇卷·19）對于給定的正整數k，若數列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n（n＞k）總成立，則稱數列{an}是“P（k）數列”.

（1）證明：等差數列{an}是“P（3）數列”；

（2）若數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，證明：{an}是等差數列.

分析：（1）根據條件設出等差數列{an}的公差d，并確定對應的通項公式，通過n≥4時，結合相應通項之間的轉化，并利用創新概念來證明即可；（2）結合數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，建立相應的關系式，通過轉化并結合等差數列的定義來證明即可.

證明：（1）因為{an}是等差數列，設其公差為d，則an=a1+（n-1）d，從而，當n≥4時，an-k+an+k=a1+（n-k-1）d+a1+（n+k-1）d=2a1+2（n-1）d=2an，k=1，2，3，所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因此等差數列{an}是“P（3）數列”；

（2）數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，因此，

當n≥3時，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①

當n≥4時，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. ②

由①知，an-3+an-2=4an-1-（an+an+1）， ③

an+2+an+3=4an+1-（an-1+an）， ④

將③④代入②，得an-1+an+1=2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差數列，設其公差為d′，

在①中，取n=4，則a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3-d′，

在①中，取n=3，則a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=a3-2d′.

所以數列{an}是等差數列.

點評：解決此類創新概念問題的關鍵：一是認真審題，讀懂創新概念的含義；二是活用概念，即會利用創新概念，在相關知識的基礎上加以類比、提升與拓展，轉化為熟悉的相關問題；三是根據題意，并結合相關知識加以分析與求解，達到創新能力與轉化思維的統一，知識與能力的綜合，真正達到創新的目的.

其實，許多新定義型問題所給信息量大、復雜，難以一步建立聯系.此時需通過綜合分析，在紛繁的信息中提煉有用的信息，通過提煉信息、原形遷移、類比推理等方法，逐步逼近問題，最后求解.解決此類新定義型問題的要求相對較高，它要求考生在考場上能夠對有關信息進行提取、加工和處理，充分考查了考生的臨場應變能力、靈活應用基礎知識分析問題和解決問題的能力.J