計數方法薈萃

☉江蘇省白蒲高級中學 楊雪梅

計數問題是高考中的必考題，雖然在高考試題中所占比例不重，且基本為填空題，但它常常與實際問題聯系在一起，題目背景往往生動有趣，解題思路非常靈活，不大容易掌握，極易出錯.在實際解答時，可以考慮根據不同的題型、不同的特點采取不同的方法來處理，對于同一個問題也可以從不同的角度出發，采取迥然不同的解答方法.下面結合一些比較常見的題型，就計數問題的幾種常見解題技巧方法加以實例剖析.

一、合理分類

合理地對計數問題加以正確分類，保證各類中對應方法均可完成任務，且類與類之間不重復，有時也在具體各類的計數中滲透排列或組合方法來綜合計數.

例1 定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有（ ）.

A.12個 B.13個 C.14個 D.15個

分析：根據數列新概念，先確定數列的首項與末項，再利用中間項的特征，通過合理分類，結合分類加法計數原理來確定.

解：根據定義，{an}的首項必為0，末項必為1，若前4項全為0，則后4項一定全為1，有1個這樣的數列；若前4項有3個為0，則前4項的排列有3種情況，后4項的排列也有3種情況，有3×3=9（個）這樣的數列；若前4項有2個為0，則前4項的排列有2種情況，后4項的排列也有2種情況，有2×2=4（個）這樣的數列.所以不同的“規范01數列”共有1+9+4=14（個）.

點評：通過數列創新概念來確定數列中相關項的性質，進而為數列的不同個數的判斷指明方向.合理分類是計數時經常用到的一種重要的技巧方法，當問題不能一概而論時，常常需要分類討論.

二、恰當分步

恰當地對計數問題加以正確分步，保證完成對應步驟后即可完成任務，且步與步之間不交叉，有時也在具體各步的計數中滲透排列或組合方法來綜合計數.

例2 安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）.

A.24種 B.36種 C.48種 D.56種

分析：根據題目條件，通過恰當分步，利用先分組再分配的不同步驟來解決相應的志愿者完成工作的不同的安排方式問題，結合分步乘法計數原理來確定.

解：不同的安排方式可以分兩步完成：

第一步，把4項工作分為三組，設4項工作分別為A、B、C、D，那么不同的分組為：（AB，C，D），（AC，B，D），（AD，B，C），（BC，A，D），（BD，A，C），（CD，A，B），共有6種不同的分組方式；

第二步，把對應的三組按順序分配給3名志愿者完成，不同的完成方式有3×2×1=6（種）.

根據分步乘法計數原理可得不同的安排方式共有6×6=36（種）.

點評：解決此類問題往往通過具體問題的分步加以計數，解題時注意分步討論要做到不重不漏.當然解決本題也可結合排列與組合方法來處理.

三、特殊優先

計數中常會出現某個（或某些）元素要求排在指定位置的問題，可先排這個（或這幾個）元素，再排其他元素.當然，有時也會出現某個（或某些）位置要求排在指定元素的問題，可先排這個（或這幾個）位置，再排其他位置.此類問題直接考慮特殊優先法處理.

例3 用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為（ ）.

A.36 B.48 C.56 D.72

分析：首先明確本題中的數字問題是排列問題，考慮個位上排的數字的限制進而優先考慮，再結合分步計數原理進行分析與解決.

解：由題可知，五位數要為奇數，則個位數只能是1，3，5中的一個，可分為兩步：先從1，3，5三個數中選一個作為個位數有種，再將剩下的4個數字排列得到種，則滿足條件的五位奇數有=72（個）.

點評：對于題目中對一些元素或位置的限制條件，往往可以直接先考慮某個（或某些）元素.對于奇數問題，可以優先考慮個位數是奇數的情況，接著再考慮其他位數的情況，從而得以正確處理與解答.

四、整體捆綁

對于要求某些元素必須在一起的集團問題，可采取暫時將這些元素組成一個整體當作一個元素來處理.此類方法經常稱為捆綁法.這類問題解題的常用方法是：先將這些特殊元素捆綁成一個整體，即視為一個元素，與其余元素進行排列或者組合，再考慮所捆綁的元素，從而達到求解的目的.

例4 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）.

A.480種 B.560種 C.720種 D.960種

分析：要求2位老人相鄰，可以把這兩個元素作為一個整體加以集團化，利用捆綁法來處理即可.

解：先排兩端，從5名志愿者中選取2人排在兩端，有種；再把2位老人看作一個整體，與剩下的3名志愿者排在中間部分，有種；最后再排2名老人的位置，有種；根據分步計數原理，不同的排法共有960（種）.

點評：關鍵是根據題目條件合理處理相關的整體性問題，同時還要對集團內的元素進行合理的排列與組合的處理.

五、相離插空

對于要求某些元素不能相鄰的相離問題，可先把其余元素排成一排，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端.此類方法經常稱為插空法.

例5 在數字1，2，3與符號“＋”，“-”五個元素的所有全排列中，任意兩個數字都不相鄰的全排列的個數是＿＿＿＿個.

分析：根據題目條件，由于任意兩個數字都不相鄰，可以先排兩個符號，再把3個數字相離插入到對應的3個空檔中即可完成任務.

解：由題意得到：先把兩個符號的全排列有種方法，再在形成的3個空檔中全排列3個數字有種方法，即任意兩個數字都不相鄰的全排列有=12（種）方法，正確答案為：12.

點評：在討論問題時可以排除都不相鄰的數字，先排符號，再根據符號之間的空檔插入互不相鄰的數字.關鍵是準確找對插空處理前后的對應元素與對應空檔位置之間的關系，從而得以正確解答.

六、分組分配

分組分配問題是計數中的一個重點與難點，包括整體均分問題、部分均分問題、不等分問題，同時又涉及分組后是否有序.解決此類分組分配問題，抓住分組特征，掌握相應的計數規律與計數公式來轉化與應用即可.

例6 國家教育部為了發展貧困地區的教育，在全國重點師范大學免費培養教育專業師范生，畢業后要分到相應的地區任教.現有6個免費培養的教育專業師范畢業生要平均分到3所不同的學校去任教，則有______種不同的分派方法.

分析：根據題目分析，本題是整體均分問題，把6個畢業生平均分成3組，每組2人，再將3組畢業生分到3所不同學校，先利用組合中的整體均分，再利用排列計算.

解：先把6個畢業生平均分成3組，有再將3組畢業生分到3所不同的學校，有A33種方法，故6個畢業生平均分到3所不同的學校，共有分派方法.

點評：其實，解決本題可以直接采用：6個人分成3組，分配到3個不同的地方，實質上就是6個人平均分成三個不同的小組，故有=90（種）分派方法.

對于整體均分，將一組n個不同元素平均分給A、B、C等不同的單位，每個單位m個，可先從n個中選取m個給A，再從剩下的n-m個中選取m個給B，…，依次類推，不同方法種數為…個；將一組n個不同元素平均分成k組，每組m個，由于某m個元素先選和后選分組結果是一樣的，故不同分組方法數為.解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以平均分組后一定要除以n為均分的組數），避免重復計數.

對于計數問題，除了以上幾類常見的類型，還有其他一些相關的類型，解決問題時要結合具體的問題加以剖析，掌握相應的計數規律與計數公式，就能順利解決任意問題，進而還能將一些其他的計數問題轉化為對應的類型來分析與求解，達到做一題通一類，掌握一類通一片的目的.F