幾何入門教學的三個重視與一個“淡化”
——以七年級“角（第1課時）”教學為例

☉江蘇南菁高級中學實驗學校 馮鋒華

幾何入門階段的教學十分關鍵，角的教學也是教學研討的熱點課題.最近筆者有機會開設角的第1課時教學研討課，對角的教學認識有了很多新的理解.本文結合該課的一些教學片段，闡釋一些思考，供研討.

一、幾何入門教學要重視概念的生長與發展

我們知道初中階段研究平面幾何是依“點、線、面、體”的順序漸次展開，起始階段的概念能否引導學生想清辨明熟記于心，對后續幾何概念的學習十分關鍵.具體來說，直線、射線、線段是一組關聯概念，這組概念需要追求它們的深刻理解，因為它們關乎后續學習和定義角、角平分線、三角形、垂線、四邊形等圖形的概念.以下以角的第1課時的兩個教學片段來說明，可以怎樣由已有概念生長、發展出新的幾何概念.

教學片段1：引入角的概念.

（黑板上畫出一條直線）

師：這是一個什么圖形？

生：一條直線.

師：在直線上取一點得到什么圖形呢？

生：得到兩條射線.

師：再取一點呢？

生：得到線段.

師：同學們回答得很好，我們學習了線段的哪些內容？

……

師：同學們回顧得很棒，我再畫一個圖形，這是？

生：這是一個角.

師：角的兩邊是什么線？

生：射線！

師：它們有公共端點嗎？

生：有！

師：我們就定義“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角”（板書定義）.

教學片段2：研究角的表示法.

師：首先要介紹角的符號吧.（邀請學生上臺書寫）

（一個學生上講臺寫角的符號）

師：數學非常有意思，它常常在表示上用一個小的圖形來表示，這個圖形就像一個角.這個圖形怎么表示？（指黑板上之前畫好的角，請學生上講臺書寫表示角的圖形）

學生：∠AOB，頂點在中間.

師：非常好！頂點在中間.

師：她說可以寫成∠AOB，也可以寫成∠BOA.她寫得很好，這個作為頂點的O，一定要寫在中間.還有什么寫法？（邀請學生上講臺書寫）

師：∠O，只用一個表示頂點的大寫字母來表示?。ò鍟?/p>

生：∠1，還可以用數字表示.

師：哦，還可以用數字.行不行？用數字表示時可要注意了，在這個角的頂點處，靠近頂點畫一個弧線，在弧線的外面用數字1就注1，用數字2就注什么？

生（齊）：2.

師：嗯，很好.另一種用的可不是數字，是希臘字母.嗯，我如果在頂點處要用α表示，就先畫一個弧線，在這里標注（板書），那就寫角α，我說這個角在什么范圍內，可以用角的符號，角α，也可以就直接寫α.好了，沒有什么補充嗎？嗯，用三個大寫字母表示，表示角的頂點的字母寫中間，用表示頂點的一個大寫字母表示，用一個數字或一個希臘字母表示，有補充嗎？

生：我們可以把數字或希臘字母換成一個小寫字母.

案例解讀：在新概念的引入時，要不惜時、不惜力，通過對話、板書，從正例出發，兼顧學生的易錯點、易混點，在對話中加深對正例的理解，并辨析常見錯誤的表述.

二、幾何入門教學要重視研究套路的滲透

“數”的學習主要是先定義一類“數”系，再研究它的相關概念，接下來重點學習數的運算和簡化運算.幾何學習也有一定的套路，具體來說，就是先研究一個圖形的形狀，接著研究它的相關元素或概念，然后重點學習這個圖形的性質與判定，即它有什么特殊之處，如何識別和判定這種圖形，最后才是這類圖形的相關應用.以下是角的教學片段中體現研究套路滲透的相關對話.

教學片段3：如何研究角.

師：想一下，對于線段我們研究了哪些內容？

生：我們研究了直線，直線上的兩點和它們之間的部分叫作線段，這是線段的定義.

生：研究了線段的表示法.

生：作一條線段等于已知線段，這是線段的畫法.

生：線段的中點.

生：我們還研究了線段可以進行長短比較.

生：還有度量線段的單位，如厘米、毫米、米.

師：很好，同學們再回憶下小學里我們學習了角的哪些知識？

生1：角的分類.（銳角、直角、鈍角、平角、周角）

生2：怎么去度量角的大小.（量角器的度量方法）

生3：角的表示.（∠1、∠2）

生4：數角的個數.

……

教學片段4：研究角的大小.

（黑板上給出兩個角）

師：你能比較兩個角的大小嗎？

生：用量角器量出每個角的度數，然后比較大小.

師：這個方法不錯，還有沒有其他方法呢？

生：疊合法，就是把這兩個角重疊在一起比較.

師：說說你是怎么想到這個方法的.

生：我們前面學過線段的比較，可以類比線段的比較.

師：非常棒，小組成員互相展示剛剛說的兩種比較角的大小的方法.

（學生上臺展示）

引導學生歸納得出疊合法的三要求：

①頂點重合；②一邊重合；③同旁.

案例解讀：通過類比線段的研究方法，遷移到角的學習上，既是對之前所學內容的復習，也是對研究一個圖形的基本套路的滲透.

三、幾何入門教學要重視圖形語言規范訓練

根據教學經驗，到了初二、初三，不少幾何適應性偏弱的學生常常是對一些簡單的幾何概念都沒有辨清，也不會最基本的圖形語言的表達，至于幾何語句的書寫更是糟糕.可見，在幾何起始階段的教學中加強圖形語言的規范訓練至關重要.

教學片段5：定義角平分線.

師：從∠AOB的頂點出發，在∠AOB的內部畫射線可以畫多少條？

生：無數條.

師：有沒有特殊的一條射線呢？

生：有，有一條射線可以把這個角分成兩個相等的角.

師：很好，這位同學觀察很仔細，那么你能不能給這條射線起一個名稱呢？

生：這條線是這個角的角平分線.

師：請你歸納概括出角平分線的定義，也就是什么樣的射線是角平分線.

生：一條射線把一個角分成兩個相等的角叫作角平分線.

師：是什么樣的射線？有沒有誰要補充？

生：從一個角的頂點出發的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作角平分線.

師：總結得很到位，我們寫成符號語言怎么表示？

（生說師板書，略）

師：我們說定義既是這個圖形的性質也是這個圖形的判定.（板書角平分線性質與判定的不同幾何語言，并要求學生整理到課堂筆記中）

師：我們如果知道這是一個角平分線，那么你能得到什么樣的結論呢？

生：這條射線平分的兩個角相等.

師：對的，這就是角平分線的性質.（指著黑板上，板書符號語言）

案例解讀：學生在初學幾何時，對一些幾何定義需要達到多個角度的學習與理解，比如，對于角平分線的定義，不僅要知道角平分線是一條射線，能把角平分為兩個相等的角，而且要能對照圖形寫出符號語言，并靈活選擇不同的符號語言呈現順序（比如，角平分線性質與判定的“正、逆”書寫）.

四、幾何入門的教學要淡化繁難習題的訓練

當前幾何的一大怪象是教材常常被“置于一邊”甚至新授期間都不用教材，而以所謂的“習題單式”的導學案取代教材，并且在講新課的同時配套了“一本一輔一練”，學生學新課之后就被布置了大量的課時同步訓練題，而這些試題為了追求所謂的新穎、變式與拓展，有些明顯偏離了新授階段的難度要求，使絕大多數學生不適應這些練習，誤以為幾何難學、難算，影響了一些學生對幾何學習的興趣，這也是值得我們警惕和改進的一個方向.在這方面一個有益的啟示是，多研究教材上的例題、習題的呈現形式與難度要求，起始階段一定不能人為拔高、拓展不必要的難度，而應該用典型問題把學生學習幾何的興趣與信心培養起來，這樣才能為后續學習打下必要的基礎.

1.黃華.類比舊知探新知，實踐“單元教學”——以“一元一次不等式”起始課教學為例［J］.中學數學（下），2016（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.多元表征與概念教學［J］.小學數學教育，2011（10）.

4.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.W