構(gòu)造直角三角形解題例談

☉《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》社有限公司 姜紅偉

直角三角形是一類最基本而特殊的幾何圖形，有許多重要的性質(zhì)，為我們解決一般三角形、四邊形的問題作了知識(shí)鋪墊.于是，通過作高、構(gòu)造直角三角形、利用直角三角形的性質(zhì)解決更一般的幾何圖形中的證明或計(jì)算問題，就是一條大行其道的解題大法，尤其在初高中數(shù)學(xué)銜接地帶很有作用.

一、直角三角形的性質(zhì)

如圖1，Rt△ABC中，C=90°，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，CD⊥AB于D.設(shè)CD=h，AD=m，BD=n.則：

（1）斜邊AB上的中線等于AB的一半.

（2）30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（3）兩銳角互余，A+B=90°.

（4）勾股定理，a2+b2=c2，a＜c，b＜c.

（5）射影定理，h2=mn，a2=nc，b2=mc.

（6）邊角關(guān)系，a=csinA，或a=btanA，或b=ccosA.

二、構(gòu)造直角三角形

解答某些一般幾何圖形中的計(jì)算或證明問題時(shí)，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線把它們分割成一些直角三角形，從而轉(zhuǎn)化成可以運(yùn)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決這些圖形中求邊角的問題.注意：由于解直角三角形是數(shù)形結(jié)合的重要內(nèi)容，所以在分析問題時(shí)，可盡量畫出相關(guān)的平面示意圖幫助思考.

三、典型例題解析

例1 如圖2，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tan

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）利用此圖形求tan15°的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：=1.4，=1.7，=2.2）.

解析：（1）注意到∠C=150°，所以其補(bǔ)角為30°（非常特殊的角），故過A作AD垂直BC所在的直線于D，則在Rt△ACD中，AD=AC=2，進(jìn)而CD=在Rt△ABD中，tanB=，代入值即得BC=16-2

（2）在CB上取一點(diǎn)E，使得CE=AC，則∠AEC=15°.

例2 如圖3，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，連接BE，求tan∠EBC.

解析：作EF⊥BC于F，設(shè)DE=CE=a.

所以∠ECF=45°，所以△CEF為等腰直角三角形，則CF=EF=

例3 如圖4，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800（1+米，小軍和小明同時(shí)分別從A處和B處向山頂C勻速行走.已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為米/秒.若小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處，則小明的行走速度是多少？

解析：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD=x米，小明的行走速度是a米/秒.

由∠A=45°，CD⊥AB，得AD=CD=x米，則AC=x米.

答：小明的行走速度是1米/秒.

例4 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=60°.

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）求sin2C的值.

解析：如圖5所示.

（1）過B作BD⊥AC于D，則在Rt△ABD中，由∠A=60°，AB=2，得∠ABD=30°，AD=1，BD=

（2）延長(zhǎng)BD至E，使DE=BD，連接CE，則∠BCE=2∠BCA.

解析：畫出符合條件的示意圖，如圖6.

延長(zhǎng)BA，過C作CE⊥BA于E.

在△ABD中，BD=AD，則過D作DF⊥AB于F后，有AF=BF=3，進(jìn)而AD=BD=

例6 如圖7，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中點(diǎn)，若sin∠BAD=，求sin∠BAC的值.

解析：試題已知具有豐富的數(shù)形結(jié)合要素，特別是sin∠BAD=給人以廣闊的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化空間（初中階段必須構(gòu)造直角三角形），待求式卻十分簡(jiǎn)捷、明了.

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，不妨設(shè)CD=DB=1，AC=x，x＞0.

過D作DE⊥AB于E，則AB2=x2+4，AD2=x2+1.

例7 如圖8，在四邊形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=2，BC=4-2，CD=4，求AD邊的長(zhǎng).

解析：過點(diǎn)A、D分別作AE、DF垂直于直線BC，垂足依次為E、F.

過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G.在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD2=EF2+（DF-AE）2=（4+）2+（=（2+2，所以AD=2+2

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解析：過P作PE⊥AB于E.

（2）過A作AF⊥BP所在的直線，F(xiàn)為垂足，則∠APF=30°.設(shè)AF=a，則AP=2a，PF=

由已知可得Rt△PBC∽R(shí)t△FAB，

從而在Rt△ABF中，

綜上所述，作高、構(gòu)造直角三角形是一種重要技能.只需要用到直角三角形的邊角關(guān)系，勾股定理，三角形三內(nèi)角和定理和面積公式等，但思想方法是中學(xué)階段學(xué)生必學(xué)、必會(huì)的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，它是將一般三角形（往往含有30°、45°、60°、75°、120°、135°、150°等特殊角）中求邊、角、面積、三角比等問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題，進(jìn)行解決.W