一組規律探尋問題的呈現、分析、求解及思考

☉浙江臨海市大石中學 梁素芬

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第三學段（7～9年級）對知識技能的要求里面明確提到：探索具體問題中的數量關系和變化規律，掌握用代數式、方程、不等式、函數進行表述的方法.

規律探尋類問題符合其知識技能的考查要求，這類問題的綜合性強，一是體現在考查的知識點較多，不管是代數，還是幾何，亦或是代數與幾何結合，都可以找到很多的考查點；二是這類問題更多的是側重于對學生掌握的“隱性知識”進行考查，如數形結合、化歸與轉化的數學思想，以及學生的觀察、實驗、猜測、聯想、推理和總結的能力等.

一、一組規律探尋問題

（1）（數列類，根據2016年濟寧市中考題改編）按一定規律排列的一列數：1，3，6，10，□，21，28，….請你仔細觀察，按照此規律，方框內的數字應為______.

（2）（數式類，根據2016年濱州市中考題改編）觀察下列式子：

13=12；

13+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

……

可猜想第n個式子為______.

（3）（數形類，2017年臨沂市中考題）將一些相同的“○”按圖1所示擺放，觀察每個圖形中“○”的個數，若第n個圖形中“○”的個數為78，則n的值是（ ）.

A.11 B.12 C.13 D.14

（4）（數陣類，2017年黔東南州中考題）我國古代許多數學的創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用圖2所示的三角形解釋二項和（a+b）n的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”.

根據“楊輝三角”，請計算（a+b）20的展開式中第三項的系數為（ ）.

A.2017 B.2016 C.191 D.190

二、分析與求解

解答上述四個題目的關鍵是對下面一列數的把握：1，3，6，10，15，21，28，…，這列數的規律比較明顯，第二項比第一項多2，第三項比第二項多3，第四項比第三項多4，……，第n項比第n-1項多n；深層次的規律是第一項等于1，第二項等于1+2，第三項等于1+2+3，第四項等于1+2+3+4，……，第n項等于1+2+3+…+n，所以每一項的一般形式應該為（用倒序相加法求得）.

第（1）題的答案為：15；第（2）題的答案為：13+23+33+；第（3）題只需令=78即可，解得n=12，所以答案為B；第（4）題關于楊輝三角的整體規律不用考慮（如果考慮了，反而麻煩了），只需考慮每個展開式中第三項的系數即可，所以求（a+b）20的展開式中第三項的系數只需令中的n等于19即可，所以答案為D.

這類問題以不同的形式（列、式、形、陣）出現，但都和“數”有關系，解決這類問題的關鍵是發現“數”與“n”的關系，培養學生良好的“數感”，相當于建立一個定義在所有正整數上的函數關系.在教學或學習中可以熟記下列常見的幾列數：1，2，3，4，…，n，…；1，3，5，7，…，2n-1，…；2，4，6，8，…，2n，…；1，4，9，16，…，n2，…（常稱為“正方形數”）；1，3，6，…，…（常稱為“三角形數”）.

下面分別以“1，3，5，7，…，2n-1，…”和“1，3，6，…，，…”為例，介紹另外一種方法.

對于“1，3，5，7，…，2n-1，…”，可以發現這列數的深層特點：后面一項與前面一項的差等于常數（高中稱為等差數列，在此不提），我們則稱滿足上述類型特點的一列數為“一次函數型”，下面以“1，2，3，4，…，n，…”為自變量，“1，3，5，7，…，2n-1，…”為函數值，建立函數關系.設y=an+b，將（1，1）、（2，3）代入上式，解得a=2，b=-1，所以這列數的一般形式為：2n-1.

三、兩點思考

通過上述對“規律探尋”這類問題的示例、求解、分析，可以發現這類問題比較受命題者青睞，因此在教學中應該引起一線教師的足夠重視.可以大膽預測，在以后的中考試題中，此類問題還會大量存在，甚至會“只增不減”.

1.知識與能力并重.

對于“規律探尋問題”，在教學中應該做到知識和能力并重.在知識方面，如上面提到的一些基本的方法、基本的題型要認真總結，但是不能陷于“題海戰術”，因此要重視能力方面的培養，特別是提出問題和發現問題的能力，如上述第（4）題的解題方法就是學生發現的，作為教師，可能更多的是關注楊輝三角整體的性質（這和教師的知識儲備有關系），而學生卻能夠真正“走”進命題者的心里，洞悉命題意圖，使得此題變“活”，富有靈性，實現和命題者的對話.

2.素養與育人共舞.

隨著《中國學生發展核心素養》的提出，可以看出這類問題考查的方向與此是不謀而合的，如學生需要抽象出n與第n個數之間的關系，重要的是在抽象過程中需要較高的邏輯推理能力.此外，這類問題在教學中可以很好地實現學科育人，如上述題組中就出現了歷史上有名的三角形數、正方形數及楊輝三角，這是一種“美”的體現.因此對于這類問題，在教學中只有注意到了素養與育人共舞，才能夠真正“跳出題海”，才能夠還數學以“美”的本來面貌.

四、對應練習

（1）（數列類，2017年遵義市中考題）按一定規律排列的一列數依次為，…，按此規律，這列數中的第100個數是______.

（2）（數陣類，2017年自貢市中考題）填在下面個各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據這種規律，m的值為（ ）.

A.180 B.182 C.184 D.186

（3）（數形類，2017年煙臺市中考題）用棋子擺出以下一組圖形（如圖4）：

按照這種規律下去，第n個圖形中用的棋子的個數為（ ）.

A.3n B.6n C.3n+6 D.3n+3

（4）（數式類，2016年黃石市中考題）觀察下列等式：

按上述規律，請回答以下問題：

①請寫出第n個等式：an=______.

②a1+a2+a3+…+an=______.W