為揭示概念本質而教
——以“加權平均數”教學為例

☉福建三明市列東中學 詹高晟

☉福建三明市列東中學 陳冠文

2017年12月，筆者在三明市初中數學網絡教研活動中開設的“平均數”（北師大版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第六章第1節）教學研討課得到了聽課教師的好評，課后大家就這節課的教學在網絡上展開了熱烈的討論，也引發筆者的進一步思考，現整理成文，與大家交流.

一、教學內容

教材安排如下三個環節展開教學：

環節一：給出中國男子籃球職業聯賽2011—2012賽季兩個球隊（北京隊和廣東隊）隊員的身高和年齡，讓學生通過計算比較兩隊隊員的平均身高，由此引入算術平均數的概念.

環節二：介紹小明計算北京隊隊員平均年齡的方法：

表1

平均年齡=（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷（1+4+2+2+1+2+2+1）=25.4（歲）.

讓學生說明這種算法的道理，引導學生發現：小明的做法還是根據算術平均數的計算公式進行計算，只是在求相同加數的和時用了乘法，這是一種求算術平均數的簡便方法，為引入加權平均數概念做好鋪墊.

環節三：安排如下例題，引出加權平均數的概念，完成新知建構.

例 某廣告公司欲招聘廣告策劃人員一名，對A、B、C三名候選人進行了三項素質測試.他們的各項測試成績如表2所示：

表2

（1）如果根據三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用？

（2）根據實際需要，公司將創新、綜合知識和語言三項測試的得分按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用？

二、教學過程及評析

環節1：創設情境，復習舊知.

上課伊始，筆者指出大家生活中會接觸各種各樣的數據，常常要對它們進行適當的整理和分析，以獲取更多的信息，為決策提供依據.接著讓學生閱讀教材的章引言和觀察章前主題圖，明確本章的主要學習任務，主要是研究數據分析的常用方法.然后提出問題一：

問題一：A、B兩個學習互助小組的半期考數學成績如下：

A組：75，84，85，90，56.

B組：92，80，54，73，85，81.

你認為哪個互助小組的成績更好些？

引導學生比較兩個小組的平均成績，順勢回顧算術平均數的算法，并給出規范定義.

評析：本節是“數據分析”這章教學的起始課，加權平均數的概念是這節課的教學重點，但筆者不僅關注加權平均數概念的教學，還非常注重發揮章引言的教學功能，通過指導學生閱讀章引言，幫助他們了解本章的主要內容，熟悉本章概貌，讓學生在學習之初就能弄清學習的脈絡，以防“只見樹木，不見森林”.然后用一個具體的情境問題引導學生自然喚醒算術平均數的概念和求法，體會算術平均數的統計意義.

環節2：提出問題，引發思考.

問題二：半期聯考中，甲、乙兩校初一年級數學平均成績如表3所示，能否求出這兩校初一學生的數學平均成績？

表3

不少學生回答“能”，認為答案是70分.

生1：算不出來，因為平均分等于總成績除以總人數，而現在我們不知道這兩個學校的具體人數.

師：能確定平均分的大致范圍嗎？

師：是更接近60分還是更接近80分？

生3：應該跟兩個學校的人數有關.

接著筆者提出問題三：

問題三：如果知道這兩校初一年級的人數（如表4），能否表示出這兩校初一學生的數學平均成績？

表4

然后筆者借助Excel表格，給定一些a的值，依次算出相應的的值（如表5），繪出相應的統計圖（如圖1）.

表5

圖1

師：請大家觀察統計表和統計圖，能有什么發現？

生5：a的值不同，最后結果也不同.

生6：a越大，平均成績就越低.

生7：但到不了60分，只會越來越接近60分.

師：是的，太好了！大家發現a的值越大，平均分越接近60分，說明a的值越大，甲的成績對結果的影響就越大，這時甲的成績重要程度就越高，a的值反映了60分的重要程度，我們就把a的值叫作60分的權.

評析：這里設置了兩個逐漸遞進的問題，問題二既有助于學生深入理解算術平均數的概念，也為引出加權平均數的概念埋好伏筆.問題三通過給出兩個學校初一年級的學生數，并且用字母a來表示甲校初一的人數，讓問題變得開放.課堂上，在師生互動、共同交流中，引導學生逐步明確a的值的變化會引起兩校平均成績的變化，理解研究加權平均數的必要性，發展學生的數據分析觀念.特別是借助條形統計圖，讓平均分的變化趨勢顯得直觀、簡潔，能有效調動學生的學習興趣，為加權平均數概念的引入做了充分的鋪墊.

環節3：歸納提煉，引出概念.

師：在這個問題中，一組數據里的各個數據的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數據時，往往給每個數據一個“權”.像式子≈72.92中，這里85就叫作60分的權，155叫作80分的權，85、155反映了這個式子中60分和80分的重要程度，72.92分就叫作兩校成績60分、80分的加權平均數.

然后給出加權平均數規范的概念：一般地，n個數據x1、x2、…、xn的權分別是f1、f2、…、fn，則這n個數的加權平均數

生8：在式子①中，60、80的權分別為85、155；在式子②中，60、80的權分別為600、155.

師：權的作用是什么？

生9：反映數據的重要程度，權越大對平均數的影響就越大.

師：觀察這些式子，分子和分母都有哪些特點？

生10：分子表示兩個學校的成績總和，分母表示各權的和，也就是兩個學校的總人數.

師：你能取一個a的值，使平均分更接近80分一些嗎？

生11：a=30.

師：為什么這樣取？

生11：要讓最后成績更接近80分，說明80分的權重要盡量大一些，60分的權重要盡量小一些，所以a的值要盡量小一點.

師：說得很好！那么如果兩個分數的權重一樣，a的值應是多少？計算出的平均分又是多少？

生（眾）：a=155，平均分為70分.

生12：結果跟算術平均數一樣.

師：對，這就說明算術平均數是加權平均數的特殊情況，此時，每個數據的權重相同.

評析：有了問題二和問題三的鋪墊，筆者借助具體例子，引導學生通過觀察、分析，先給出加權平均數概念的形式化定義，再進行抽象概括，得到概念的規范定義，把握住了概念的本質，既有助于學生理解概念，又有助于培養學生的抽象概括能力，概念的引出自然、流暢.概念引出后，再通過具體實例幫助學生理解，并把算術平均數與加權平均數有機統一起來，滲透了特殊與一般的數學思想，體現了前后一致、邏輯連貫的數學思維.

環節4：辨析發現，完善認知.

問題四：某次安全知識競賽，我校參賽的學生共有3種得分：85分、80分、90分，人數分別為19、10、21，請求出這些參賽學生的平均得分.

接著筆者對該題進行變式，提出以下問題：

變式1：某次安全知識競賽，我校參賽學生共有3種得分：85分、80分、90分，人數之比為19∶10∶21，請求出這些參賽學生的平均得分.

對于本題，不少學生存在困難，筆者引導他們利用算術平均數的概念解決，假設3種得分的人數分別為19x、10x、21x，則有，整理后得到，發現結果與原題一樣，在探究中讓學生明白，權還可用比例的形式來呈現，此類問題以后可直接用加權平均數解決.

變式2：某次安全知識競賽，我校參賽學生共有3種得分：85分、80分、90分，人數分別占我校參賽人數的31%、33%、36%，請求出這些參賽學生的平均得分.

有了“變式1”的解題經驗，學生解決此題就容易多了，引導學生假設我校全部參賽學生為x人，則有：，整理后得到=85×31%+80×33%+90×36%，由此指出權還可以用百分比的形式呈現.

評析：權的表現形式有多種，數據的出現次數這種形式對初學者來說比較容易接受，而比例和百分比這兩種形式較難理解，如何才能從次數這種形式自然過渡到另兩種形式，讓學生能夠理解，易于接受？這就需要我們精心設計.為此，筆者通過變式，把后兩者借助平均數的概念統一到次數這種形式，過渡流暢，最終都是利用較易理解的次數這種形式來理解權的其他表現形式，思路順暢，生成自然.

環節5：應用概念，深化理解.

利用教材中環節三的例題素材，提出問題五：

問題五：若根據三項測試的平均成績確定錄取人選，那么誰被錄取？說明理由.

師：若公司要招聘的是廣告策劃員，A會是合適人選嗎？

生13：不合適，因為廣告策劃員的創新能力更重要，而A的創新分數不高，應該錄用B.

師：那該如何修改最后的計分規則，使我們能錄用到合適人選？

生14：可以給“創新”更高的權重，如按照4∶3∶1的權重計算最后的得分.

筆者讓學生算一算，發現按這種錄取方式可以錄用到B.

師：生活中，你們還接觸過哪些利用加權平均數來解決的問題？

通過討論，讓學生分享自己的例子，感受加權平均數在生活中的應用.

評析：這里通過開放性的問題，讓學生主動給數據賦予適當的權，在分析問題、解決問題的過程中，學生對權的意義有了更深的理解和領悟，權可以根據數據的重要程度進行合理分配，體會到權對決策所起的作用，發展學生的數據分析觀念.

三、幾點體會

1.概念教學：基于自然生長，重在揭示本質.

數學概念是數學學習的起點，是數學思維的基礎，而概念又往往比較抽象，學生不易理解，因而在教學中要根據學生的認知水平，基于知識的自然生長，通過有序、恰當的教學環節，拉長思維過程，幫助學生揭示概念的本質.筆者聽過多位教師開設的“平均數”教學公開課，他們在權的概念形成上用時很少，對它的本質一帶而過，而是把更多的精力放在有關加權平均數的計算訓練上面，結果導致學生只會機械模仿，生搬硬套，對權的含義并未真正理解，沒有將權的概念建構進自己的知識網絡中，用時是知其然而不知其所以然.有一節公開課，教師在練習中設計了以下題目：小明家上個月的伙食費用為500元，教育費用為200元，其他費用為300元，本月小明家這三項費用分別增長了10%、30%、5%，小明家本月的總費用比上個月增長的百分數是多少？學生在解答時無從下手，分不清問題中的數據與權.在本節課的教學中，筆者考慮最多的就是如何讓學生經歷從識權到悟權的過程，培植權的概念，理解權的含義，會用權解決實際問題，為此，通過精心設計，讓學生求兩校初一年級的數學平均成績，引發學生的思維沖突，引導學生關注甲校初一年級人數a的變化對最終平均成績的影響，a的值越大，最終成績越接近甲校的成績，a的值的大小反映了甲校成績的重要程度，這正是權的本質特征，由此引出加權平均數的概念水到渠成.這樣的探究，雖然用時較多，但這種“慢”教學，讓學生充分經歷概念的形成過程，他們在交流碰撞中解決了問題，提升了能力，概念的本質屬性是由他們自主揭示得到的，自然理解透徹，體會深刻.

2.教材使用：有取有舍不唯是，優化整合有所立.

教材是知識的載體，蘊含課標的精神實質，凝聚編者的智慧，但教材不是教學的出發點，更不是終點，僅僅是教學的媒介.由于條件限制，教材內容很難做到完全適應各種不同類型的學校，這就要求一線教師在教學中要根據學生特點，對教材進行創造性使用，有取有舍，優化整合，使靜態的教材內容動態化，使零星的知識條理化、系統化，以便更好地為教學服務.本節課，教材提供的兩個球隊的隊員身高、年齡素材，雖然來源于生活，數據豐富，有助于培養學生的統計觀念，但本節的重點不在于具體數據的計算，而在于探究數據分析的方法，因此復雜的數據反而會干擾對核心內容的學習.此外，教材安排的例題第（2）問，意在引出加權平均數的概念，并且給出當權以“比例”形式出現時加權平均數的計算方法，然而筆者在備課時請程度較好的學生試做本題時，發現他們要么不會列式，要么對列出的式子=不會正確解釋，究其原因，主要在于這時還未引入加權平均數的概念，而本題又無法利用算術平均數的計算方法（所有數據的總和除以數據的總個數）說明.為此，筆者對教材進行大膽取舍，更換教學素材，通過設計層層遞進的問題串，讓權的概念自然生成，然后通過“問題四”的三個小題，讓學生體會加權平均數的三種表現形式，當學生遇到困難時，引導他們回到算術平均數的概念加以解決，自然、流暢，符合學生的認知規律.這樣的教材處理讓整節課的教學環節緊湊，學生的思維在知識的推進中自然流淌，享受數學探究性學習旅程中特有的曲徑尋幽之樂.當然，我們對教材“不唯是”“有所立”，關鍵是要深刻理解教材，讀懂編者意圖，再根據學生的實際情況，對教材進行合理重組或加工，做到“有取有舍不唯是，優化整合有所立”.

3.統計教學：經歷統計活動過程，發展數據分析觀念.

當下，課堂教學仍然普遍存在“考什么，教什么”的現象，特別是統計知識在考試中基本屬于送分題，大部分教師不愿意花費時間和精力研究教材，有的教師甚至把統計課上成了算術課，缺乏統計味，學生沒有參與統計過程，統計意識和數據分析觀念很難得到發展.數據分析是統計的核心，因此在統計教學中要注意選擇合適、有效的素材，讓學生參與到統計活動中去，發展他們的數據分析觀念，培養他們的統計意識.本節課，筆者設計的“問題一”，不是直接讓學生求兩個小組各自的平均成績，而是通過問題“你認為哪個互助小組的成績更好些”引發學生主動思考，自主選擇合適的統計量，由此喚醒平均數的概念與算法等統計知識，發展學生的數據分析觀念.在“問題五”教學時，筆者不是如教材那樣直接提出問題“按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用”，而是通過問題“該如何修改最后的計分規則，使我們可以錄用到合適人選”，引導學生從統計角度修改計分規則，讓學生自主體會到可以通過改變不同項目的權重影響最后的成績，并讓學生自己給各項目賦權，在現實背景中用權，積累數學活動經驗，發展統計觀念.在本節課的最后，筆者還讓學生自己列舉用加權平均數解決的實際問題，感受統計與實際生活的聯系，增強他們的統計意識.統計是實踐性很強的一個內容領域，教師要通過引導學生積極參與統計活動，經歷統計過程，在活動中建立數據分析觀念，形成自覺運用統計知識解決實際問題的能力.

1.詹高晟.拉長思維過程 內化概念理解［J］.中學數學（下），2016（3）.

2.潘巧慧.重在悟權過程突出統計思想——“20.1.1平均數”教學設計與說明［J］.中學數學（下），2017（9）.W