思維生長，追求自然與必然
——以“分式章首課”教學設計為例

☉江蘇省南京市江寧區麒麟初級中學 謝蓓蓓

☉江蘇省南京市竹山中學 黃秀旺

“生長數學”倡導根據具體的數學學習內容，順應學生的思維發展規律實施教學，教師只在必要時對學生進行引導，讓學生自然而然地向必然的思維方向生長.這對于每一章節的第1課時的教學設計來說是一個新的挑戰.那么，如何在每一章節的第1課時讓學生獲得知識經驗的快速生長呢？筆者是從以下幾個方面著手的.

一、概念——注重自然內生

學生要想真正理解并能運用新的知識和經驗，首先要對這個新知識的概念有深刻的理解.有的教師會選擇直接告訴學生新概念的內容，這種強加給學生、非自然生長出的新知識是沒有生命力的.建構主義認為，對于新知識的接受并不單單是把知識直接搬進腦中，而是在已有知識和經驗的基礎上，通過與外部的相互作用對新知識產生新的理解.也就是說，學習過程并不是簡單的知識和經驗的積累，而是新經驗和舊經驗沖突導致發生改變和重組的過程.從這個意義上說，在教學過程中，教師可以把學生的已有知識和經驗作為新知識的生長點，引導學生從以往的知識和經驗中生長出新的知識和經驗.教師可以通過創設學生熟悉的情境或提出學生熟悉的問題，讓學生在交流中感受、探究、發現，讓新概念自然內生.

比如，在講解新蘇科版八下第十章“分式”第1課時時，筆者了解到在學習分式之前，學生在小學已經學過了分數，在七年級也已經學過了整式，教師完全可以把這些已有的知識和經驗作為學生理解分式概念的生長點，讓學生自然內生出分式的概念.經過思考，筆者提出了以下問題：

問題1：用代數式表示下列問題：

（1）某工廠有5噸貨物，若安排4輛貨車一次性將貨物運走，那么平均每輛貨車能運多少噸貨物？

（2）某工廠有a噸貨物，若安排4輛貨車一次性將貨物運走，那么平均每輛貨車能運多少噸貨物？

（3）某工廠有a噸貨物，若安排b輛貨車一次性將貨物運走，那么平均每輛貨車能運多少噸貨物？

（4）某工廠有甲、乙兩個車間，其中甲車間有a噸貨物，乙車間有b噸貨物，該工廠共安排4輛貨車一次性運走所有貨物，那么平均每輛貨車能運多少噸貨物？

（5）某工廠有a噸貨物，原計劃安排4輛貨車將貨物一次性運走，為了提高效率，實際運輸時，該工廠又增加了b輛貨車，那么實際運輸時平均每輛貨車能運多少噸貨物？

通過問題1，創設情境，讓學生列出代數式，為問題2中感悟分數和分式、整式和分式之間的區別和聯系做鋪墊.

問題2：你能將上述結果中的（進行分類嗎？說說你分類的理由.

問題2的分類方法很多，有的學生可能將（1）單獨歸為一類，因為他認為分子、分母中都不含字母.借此，教師可以引導學生回憶小學時學過的分數的內容，為后面引出分式的名字做準備.有的學生可能將（1）（2）（3）歸為一類，因為他認為這三個代數式的分子和分母都是單項式，而（4）（5）中，分子或分母是多項式.此時，教師正好可以追問（1）（2）（3）中哪些是單項式，（4）（5）中哪些是多項式，從而引導學生回憶整式的內容，并發現（3）（5）與整式的不同之處就在于分母中含有字母.這時，教師可順勢根據分母中是否含有字母將（3）（5）分為一類，剩下的整式（1）（2）（4）分為一類.需要注意的是，在學生回答過程中，只要學生講出合理的理由，教師不應該急于否定學生，而應該順著學生思維發展的方向，通過適當的問題引導學生感悟分式與整式的區別和聯系.

問題3：你能再寫出一些和（3）（5）歸為一類的代數式嗎？你能給這些代數式起個名字嗎？

通過問題1和問題2的探索，類比小學分數的形式，學生自然而然就講出了新概念“分式”的名稱.

問題4：你能給分式下個定義嗎？

讓學生經歷從感受到發現再到歸納的過程，最終，引導學生表達出分式的概念：“一般地，形如的式子叫作分式，其中A和B均為整式，B中含有字母”，在原來的知識和經驗的基礎上生長出“分式”這個新知識，同時，讓學生了解“樣子+條件”這種下定義的方法.

問題5：你能在下列條件下求出分式的值嗎？

（1）a=1；

（2）a=3；

（3）a=-2.

通過問題5，促使學生在計算中感受分式何時有意義、何時值為0，從而加深對分式概念的理解.

二、整體——構建結構框架

“整體”是指由事物的各內在要素相互聯系構成的有機統一體及其發展的全過程.在“分式”學習過程中，如果教師能夠引導學生利用整體的觀點探究數學知識，學生就會有一種“一覽眾山小”的感受.從這個角度而言，“分式”的第1課時既可以看作本章知識的敲門磚，更可以看作本章知識結構的引領.教師可以直奔“分式”主題，提出“分式”探究性的問題，讓學生結合自己的學習經驗，將“分式”學習的重點從碎片化的技能訓練層面轉移到探究學習一個新課題的層面上來.

以“分式”教學為例，教材是將分式的基本性質、分式的運算、分式方程及應用分開來研究，其實這樣不利于學生整體思維的構建，所以，筆者在教學“分式”時，改變以往的教學方式，提出了以下問題：

問題6：如果讓你來研究分式，你想從哪些方面研究呢？

為了讓學生在腦海中對本章內容形成一個整體的框架，筆者提出了一個開放性的問題.對于這個問題，學生最容易聯想到的就是分數.那么，教師可以順著學生的思路，追問學生小學學過分數的哪些方面.學生自然聯想到分數的基本性質、加減乘除等運算及相關應用.而學生關于分數各方面的知識和經驗就可以作為研究分式的生長點，也便于學生理解研究“式”類問題遵循“概念—性質—運算—應用”的常見套路.所以，對于每一章節的第1課時，筆者希望學生不僅僅滿足于完成本節課的教學目標，更應站在宏觀的角度上對本章內容有一個整體的把握，要用整體的觀點、聯系的思想、統領的方法研究新概念，從而形成研究某類問題的套路，這樣才能使得學生的思維得到自然生長.

三、類比——促進經驗遷移

所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式.“分式”教學過程中，通過類比聯想，可以幫助學生在探究中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題.生長數學理念強調，一個知識能生長出另一個知識，這兩個知識之間一定存在某種聯系.在教學“分式”時，可以幫助學生類比分數而獲得分式的特性，對已有的知識和經驗進行提升和重組，從而得到思維力的生長.

“分式”學習中，學生已經從以往的知識和經驗中明確了分式的研究方向.如果要深入下去，還需要將學生引入分式和分數、分式和整式的學習境界中.

問題7：類比分數的基本性質，你能嘗試描述分式的基本性質嗎？

從分數到分式意味著數到式的變化，教師可引導學生注意區別和表達，最終得到分式的基本性質：分式的分子、分母同時乘以或除以同一個不為零的整式，分式的值不變.同時，教師可再次引導學生說出“和分數的基本性質一樣，我們也可以利用分式的基本性質對分式進行約分和通分”.

問題8：學習性質，是為了更好地進行運算，你想如何研究分式的運算呢？

關于分式的加減，學生通過類比分數，能夠想到將分式的加減分為同分母和異分母加減兩種情況.計算異分母加減時，可通過通分的方法轉化為同分母的加減運算.至于分式的乘除，學生聯系分數，也不難聯想到解決方法.需要注意的是，教師在學生探究的過程中，不僅要引導學生聯想分數和分式運算的相同之處，同時要讓學生注意它們的不同之處.在進行分式有關運算時，會遇到整式之間的加減，此時就需要使用去括號、合并同類項等計算法則.有時，分式的分子和分母不一定是單項式，也可能是多項式，這時該怎么找出其中的因式，進行通分或約分呢？如果學生難以解決這個問題，教師可引導學生將多項式變成乘積形式，這樣才方便看出其中的因式.此時，學生就容易想到應該將多項式進行因式分解.這時，學生的思路就不會僅僅局限于小學的分數，而是將思路上升到“式”這個層次.

問題9：某廠要生產玩具a只，原計劃每天生產b只，實際比原來每天多生產了c只，則實際提前_____天完成任務.

通過實際問題，讓學生進一步感受學習分式的必要性，以及學習分式的價值.

問題10：我們學習整式時，除了研究整式的概念、性質、運算和應用，還研究了關于整式的什么方面呢？

此問題旨在引導學生聯想到整式方程，并類比熟悉的一元一次方程，繼續探究分式方程的相關內容.

問題11：你想怎么研究分式方程呢？

從整式的概念、性質、運算和應用類比到分式的概念、性質、運算和應用，這既是一次知識的生長，也是一次經驗的生長.再類比這樣的研究方法，引導學生從整式方程出發，尋找研究分式方程的生長點，從整式方程的概念、解法和應用再次遷移到分式方程的概念、解法和應用，在生長點中形成生長節，讓知識和經驗再次生長，思維再次發展.

教學“分式”時，我以整體的眼光構建了本章的知識框架，以類比的方法引導學生自然生成分式的概念，掌握了研究“式”類新知識的方法.學生不僅獲得了知識和經驗的生長，更重要的是經歷了在探究過程中自我完善和優化的思維過程，這些思維過程有力地促進了學生數學思維的生長.