改編題組漸次呈現(xiàn)，對話追問促進理解
——以2018年兩道圖形翻折中考題教學為例

☉浙江省諸暨市濱江初級中學 嚴月華

近讀《中學數(shù)學（初中版）》，三位老師圍繞圖形翻折設計了中考微專題復習課（見參考文獻［1］～［3］），讀來很受啟發(fā)，這種主題聚焦式的復習課圍繞一個“題干”多角度設問，是一種有效的復習課型.帶著這樣的思考研究各地中考試卷時，發(fā)現(xiàn)不少地區(qū)都將翻折問題作為綜合題進行考查.本文選擇兩道翻折變換綜合題構(gòu)思一節(jié)專題復習課，供研討.

一、圖形翻折專題復習課

本課兩道例題改編自2018年中考卷翻折題，改編成題組呈現(xiàn).

例1如圖1，將等腰直角三角形ABC對折，折痕為CD.展平后，再將點B折疊至邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點B在AC上的對應點為M.設CD與EM交于點P，CD與FM交于點O，連接PF.已知BC=4.

（1）求∠EMF的度數(shù).

（2）若點M為AC的中點，求△CMF的周長和面積.

（3）在（2）的條件下，求證：PF=PM.

（4）小明發(fā)現(xiàn)：不需要（2）中的條件“點M為AC的中點”，也可證出△PFM的形狀是等腰直角三角形.請判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

（5）隨著點M在AC邊上的不同位置，分析△PFM的周長的取值范圍.

（6）探究FC、PC、CM三條線段之間的數(shù)量關系.

教學預設：前兩問不難解決，主要是第（3）問，學生可以從兩個角度進行突破.第一個角度著眼于相似，先證△POM △FOC，得出比例式，結(jié)合對頂角∠POF=∠MOC，可得△POF △MOC，于是∠PFO=∠PCM=45°，于是△PFM為等腰直角三角形.第二個角度是，識別點P、M、C、F共圓，從而根據(jù)圓周角性質(zhì)可得∠PFM=∠PCM=45°，∠PMF=∠PCF=45°，問題獲證.而這兩種證法都沒有用到條件“點M為AC的中點”，相應的第（4）問“小明發(fā)現(xiàn)”是正確的.

第（5）問需要考慮點M在邊AC的兩個端點“臨界”情況.當M與C重合時（注意：根據(jù)題干要求，它們是不可能重合的，這只是討論的“臨界”情況），F(xiàn)為BC的中點，CF=BC=2，PM=PF=，此時△PFM的周長為2+2；當M與A重合時，F(xiàn)與C重合，E與D重合，F(xiàn)M=AC=4，PM=PF=2，此時△PFM的周長為4+4.又B不與A、C重合，所以△PFM的周長的取值范圍是大于2+2且小于4+4.

第（6）問是一個經(jīng)典問題，可以有多種處理方法，比如基于“旋轉(zhuǎn)”的念頭，如圖2，作HP⊥CP交BC于點H，證出△PHF △PCM，于是證出△CPH為等腰直角三角形，從而CH=PC.又CH=CF+FH=CF+CM，則CF+CM=PC.

圖1

圖2

例2 有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9.

（1）如圖3，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設為MN（點M、N分別在邊AD、BC上），利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN.

圖3

圖4

（2）如圖4，點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點A、B分別落在點A′、B′處.小睿發(fā)現(xiàn)，△FDG是一個等腰三角形，你覺得他的發(fā)現(xiàn)有道理嗎？請說明理由.

（）如圖 ，設該矩形紙片的邊 上有一點 ，且45ADKDK=3，沿折痕HI折疊紙片，使AB落在CK所在直線上，點A、B分別落在點A′、B′處，小杰認為連接B′D，則DB′恰為△CDK的高.他的判斷是否正確？請說明理由.

圖5

圖6

預設講評：（1）延長CE、BA形成一個銳角，如圖6，作該銳角的角平分線交矩形的一組對邊于M、N，則M、N為所求的折痕.

（2）根據(jù)“平行遇上平分”可得出∠DGF=∠DFG，從而確認△FDG是一個等腰三角形.

Rt△CDF中

講評之后，還可成果擴大，追問學生：是否可求出B′D的長？預設：BF=BC-CF=9-=. 由折疊得B′F=BF=.即B′D=DF-B′F=-=3.

（4）小杰的判斷不正確，理由如下.如圖7，連接ID.

在Rt△CDK中，KD=3，CD=4，求出CK=5.

由折疊得IB=IB′=4k.所以BC=BI+IC=4k+5k=9k=9.解得k=1.說明△CDK △IB′C，則IC=5，IB′=4，B′C=3.把目光轉(zhuǎn)向Rt△ICB′中，tan∠B′IC=

圖7

二、解題教學的三點思考

1.深刻理解考題考查意圖，恰當改編預設題組漸次呈現(xiàn)

教師解題時不能滿足于思路貫通、答案獲取，也不只是簡單追求一題多解，而要更進一步，達到深刻理解考題的追求.何謂深刻理解考題？應該有如下表征：其一，不但有一題多解的探求，更有“殊途何以同歸”的結(jié)構(gòu)揭示；其二，想清辨明考題的主要難點與關鍵步驟；其三，站在該題在全卷的“位置”來理解命題專家設置該題的意圖，以便在解題教學設計時改編題組，選擇增設鋪墊問題還是繼續(xù)成果擴大、拓展提升.順便指出，這里改編預設題組時，需要教師平時注重修煉自身的命題功夫.

2.教學時注重對話與追問，促進學生自主獲得思路貫通

當考題經(jīng)過課前的改編，以題組形式漸次呈現(xiàn)（所謂漸次呈現(xiàn)，就是每次出示一個小問，師生解決之后，再出示下一個，而不是整體推出所有小問）在課堂上時，教學進程中教師需要注意對話和追問.每呈現(xiàn)一個小問后，先安排學生獨立思考，有多個學生都貫通思路之后，教師可安排他們在小組內(nèi)先交流講解，然后全班匯報展示，教師進行追問和評析，這時相機引導或追問其他學生對解題過程中某個關鍵步驟、重要信息是如何理解的，可以看出學生是否達到了真正的理解.

3.關鍵步驟不宜輕輕滑過，讓學生有充足時間消化和理解

數(shù)學較難習題求解的障礙往往出現(xiàn)在起點不清、方向不明，這時教師根據(jù)課前對考題的深刻理解，出示一些鋪墊式問題，可以幫助學生攻克難點.而在關鍵步驟的講評過程中，也不宜輕輕滑過，忌用“顯然”“易得”這類“一帶而過”的教學用語，根據(jù)教學經(jīng)驗，學生往往沒聽懂、還不理解的原因多是教師在講評過程中（或一些網(wǎng)傳解答）出現(xiàn)的一些“顯然”“易得”之處.為了把關鍵步驟如何得到，怎樣自然而然地捕獲解題念頭講清楚，可以安排一些優(yōu)秀學生介紹他們的經(jīng)驗，讓學生啟發(fā)學生，讓不同的學生表達不同的思考，一方面，可看到這些問題的處理視角或著眼點，另一方面，拉長思考過程，也為學生贏得充足的時間消化和理解.