一道中考壓軸題的多種解法與教學思考

☉山東省水發實驗學校 劉增元

綜合運用函數、圖形變換、求最值等知識的動點問題成為近幾年中考壓軸題的熱點題型，備受一線教師的關注.下面以菏澤市2018年中考壓軸題（第24題）為例，提供多種解法，并跟進教學思考，分享給大家.

一、試題呈現與解析

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2＋bx-5交y軸于點A，交x軸于點B（-5，0）和點C（1，0），過點A作AD∥x軸交拋物線于點D.

（1）求此拋物線的表達式；

（2）點E是拋物線上一點，且點E關于x軸的對稱點在直線AD上，求△EAD的面積；

（3）若點P是直線AB下方的拋物線上一動點，當點P運動到某一位置時，△ABP的面積最大，求出此時點P的坐標和△ABP的最大面積.

圖1

圖2

思路分析：（1）將B、C兩點的坐標分別代入拋物線y=ax2＋bx-5，用待定系數法可求出拋物線的表達式.

（2）求△EAD的面積，必須確定其底和高.因為線段AD的長度可求，且平行于x軸，可作為底，然后根據點A的坐標和軸對稱求出AD邊上的高，進而求出△EAD的面積.

（3）求△ABP的最大面積，基本方法有兩種.一種是幾何法.由題意可知線段AB的長度一定，所以求出動點P到直線AB的最大距離，就能求出△ABP的最大面積.當把直線AB向下平移，和拋物線有一個公共點P時，點P到直線AB的距離達到最大，此時可求出點P的坐標和△ABP的最大面積.另一種是解析法.設出點P的坐標，利用面積割補轉化法，即把不可直接求（或表示）的三角形面積轉化為可求（或可表示）的面積的和、差，然后借助函數求最值.

解：（1）拋物線y=ax2＋bx-5過點B（-5，0）、C（1，0），則解得a=1，b=4.

所以拋物線的表達式為y=x2＋4x-5.

（2）當x=0時，y=x2＋4x-5=-5，則A（0，-5）.

因為點E關于x軸的對稱點F在直線AD上，且AD∥x軸，所以EF⊥DA，EF=10.

由x2＋4x-5=-5，解得x1=-4，x2=0，則AD=x2-x1=4，故S△EAD=×4×10=20.

（3）（幾何法）如圖2，設直線AB的表達式為y=kx＋b.

所以直線AB的表達式為y=-x-5.

過拋物線上的點P作直線MN∥AB分別交x、y軸于點M、N.設直線MN的表達為y=-x＋b.

由x2＋4x-5=-x+b，得x2+5x-5-b=0.當直線y=-x+b與拋物線y=x2＋4x-5只有一個公共點時，Δ=25-4（-5-b）=0，則b=-，點P的橫坐標為-，縱坐標為-，所以點直線MN的表達式為y=-，它與y軸交

作AH⊥MN，垂足為H.

因為OA=OB=5，則∠BAO=45°，∠MNA=45°.

注：求△ABP邊AB上的高，也可過點O作平行線AB與MN的垂線，利用垂線段的差來求，限于篇幅，這里不再贅述.

試題點評：本題作為壓軸題有以下特點.

（1）題干字符簡潔，問題梯度分明，由易到難，由靜到動，思維水平逐級提高，使不同水平的學生到達問題的不同深度，體現了新課標的基本理念“面向全體學生”“不同的人在數學上得到不同的發展”.

（2）以函數為主脈，由簡單到復雜，涵蓋了待定系數法、圖形變換、圖形與坐標、配方法、數形結合、化歸、函數與方程和函數建模等主要數學思想方法的考查，實現了函數與幾何的有機結合.

（3）問題前后關聯，解法多樣，通性、通法與技巧相結合，探究持續進行.問題（1）是問題（2）和（3）的解題基礎，問題（2）和（3）看似沒有關聯，但實質上問題（2）是為問題（3）做鋪墊，問題（3）在試題解析中用了幾何法，還可以用解析法，即在平面直角坐標系中，學生可以結合自己的解題經驗從不同角度將△ABP的面積割補轉化，然后利用函數求出△ABP的最大面積.解法多樣，豐富多彩，這些正體現了命題者的匠心.

二、本題第（3）小題解析法賞析

解法1：如圖3，過點P作PE⊥OB，PG⊥AB，垂足分別為E、G，PE交AB于點F.

由幾何解法可知直線AB的表達式為y=-x-5.

設點P（m，m2＋4m-5），則點F（m，-m-5）、E（m，0）.

故PF=（-m-5）-（m2＋4m-5）=-m2-5m.

因為OA=OB=5，PE∥OA，所以∠PFA=∠BAO=45°.

解法2：如圖3，過點P作PE⊥OB，垂足為E，交AB于點F.

設點P（m，m2+4m-5），由解法1可知：PF=-m2-5m.

圖3

圖4

解法3：如圖4，連接OP.

設點P（m，m2+4m-5）.

解法4：如圖5，作PE⊥OB，垂足為點E.

設點P（m，m2+4m-5）.

圖5

圖6

解法5：如圖6，作PQ⊥y軸，垂足為點Q.

設點P（m，m2+4m-5）.

解法6：利用點到直線的距離公式求解.

先求出直線AB的表達式為y=-x-5.

設點P（m，m2+4m-5）.

因為-5＜m＜0，所以m2+5m＜0.點P到直線AB的距離d=

△ABP

三、教學思考

1.注重數學思想方法在數學教學中的滲透

數學思想方法是數學的靈魂，只有掌握了數學思想方法，才能體會到數學的奧妙，領會數學的精髓，因此教師在數學教學中不僅僅是讓學生學會知識，還要著重培養學生的思維能力，把數學思想方法的滲透和數學活動經驗的積累貫穿于教學全過程，使學生在學習基礎知識的同時掌握數學思想方法，并通過不斷積累運用，內化為自己的知識經驗，讓學生在遇到“陌生”的問題時，會用數學思想方法和自己的經驗解決問題.

2.重視解題反思，勤于歸納、梳理

對于數學試題中的壓軸題，不能僅僅滿足于解出答案這一最低層次，更要善于解后反思.首先，要深入思考試題的結構特點，解法如何自然生成，與以前哪些試題結構類似，解題思想方法是否相同，并對反思進行歸納、梳理，研究解決一類問題的通性通法，以達到對一類問題的深刻理解.其次，要挖掘試題的潛在功能和作用，進行一題多解、一題多變、多題歸一，在變式教學中培養學生思維的靈活性和發散性，逐步提升解決問題的能力.