從繁雜“超標(biāo)”解法走向簡明直觀思路
——一道壓軸題“網(wǎng)傳”解答的商榷與教學(xué)建議

☉江蘇省宿遷市沭陽如東實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王春梅

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》“試題研究”欄目，有多篇最新考題研究的文章不滿足于解法探討，有對(duì)原有解法的改進(jìn)與優(yōu)化，還有針對(duì)考題跟進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)或教學(xué)微設(shè)計(jì).這些考題研究的視角對(duì)筆者較有啟發(fā).本文也結(jié)合一道考題及網(wǎng)上傳播的繁雜解法，給出自己的商榷意見和教學(xué)建議，供研討.

一、考題及思路突破

考題：（2018年江蘇鎮(zhèn)江卷，第28題，有刪減）如圖1，二次函數(shù)y=x2-3x的圖像經(jīng)過O（0，0）、A（4，4）、B（3，0）三點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2∶1放大，得到△OA′B′.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過O、A′、B′三點(diǎn).點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=x2-3x的圖像上，m≠0，直線OP與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)O）.

（1）連接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范圍.

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)Q作QQ′平行于x軸，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像交于另一點(diǎn)Q′，與二次函數(shù)y=x2-3x的圖像交于點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），直線OQ′與二次函數(shù)y=x2-3x的圖像交于點(diǎn)P′.若△Q′P′M△QB′N，求線段NQ的長.

“網(wǎng)傳解答”：先概述網(wǎng)上傳播的一種解題思路.

（1）構(gòu)造圖1分析，由位似性質(zhì)得出A′（8，8）、B′（6，0），將O（0，0）、A′（8，8）、B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解，即可得y=x2-3x.

圖1

由P（m，n）在拋物線y=x2-3x上，可設(shè)點(diǎn)P（m，m2-3m）.根據(jù)待定系數(shù)法，易求得直線OP的解析式為y=（m-3）x，繼而可求得Q（2m，2m2-6m）.過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，可證出△OCP △ODQ，可得OQ=2OP，然后根據(jù)2AP＞OQ，可得AP＞OP.再用含m的式子表示出列 出 關(guān) 于 m 的 不 等 式，化簡得m2-2m-4＜0，解得1-＜m＜1+.另，由題意知點(diǎn)Q與原點(diǎn)O不重合，所以m≠0.

（2）根據(jù)題意，構(gòu)造圖2分析.

圖2

同樣設(shè)P（m，m2-3m），根據(jù)（1）中已有進(jìn)展或經(jīng)驗(yàn)，可得出Q（2m，2m2-6m）.結(jié)合點(diǎn)Q在第一象限，可得m＞3.

根據(jù)直線QQ′平行于x軸，則點(diǎn)Q、Q′所在直線的縱坐標(biāo)都是2m2-6m.

解法商榷：上述解法雖然也獲得了思路的貫通，但是解題過程中，涉及很多“超標(biāo)”方程與不等式的求解，這都是影響問題進(jìn)展的關(guān)鍵步驟（比如，第（1）問的求解進(jìn)程中涉及關(guān)于m的不等式；第（2）問中涉及關(guān)于m的方程即使少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生選擇上述解法，也很有可能會(huì)造成“隱性失分”的處境，即雖然這兩個(gè)小問解決或部分解決，但是考試用時(shí)（時(shí)間成本）太多，造成其余試題的“會(huì)而不對(duì)”或“對(duì)而不全”，也就是造成“隱性失分”.以下就給出其他解法，供研討.

解：（1）盯住條件“2AP＞OQ”，結(jié)合“位似”的性質(zhì)先分析出OQ=2OP，于是條件“2AP＞OQ”轉(zhuǎn)化為“AP＞OP”.先找出它們相等的情形，即先分析出“AP=OP”時(shí)對(duì)應(yīng)的m的值，再數(shù)形結(jié)合地分析出m的取值范圍.這樣只要作出線段OA的垂直平分線（先求出它的解析式為y=-x+4）.將y=-x+4與拋物線的解析式y(tǒng)=x2-3x聯(lián)立，解出m=1-或m=1+，于是1-＜m＜1+，且m≠0.

（2）充分利用上面圖2中對(duì)稱的性質(zhì)，同樣設(shè)P（m，m2-3m），分析出Q（2m，2m2-6m），結(jié)合點(diǎn)Q′與點(diǎn)Q關(guān)于直線x=3對(duì)稱，可得點(diǎn)Q′的橫坐標(biāo)為6-2m；接著需要確認(rèn)B′Q=2P′Q′，代入相似條件帶來的比例式得出QN=2Q′M，這時(shí)兩個(gè)相似三角形的相似比為1∶2，于是可設(shè)Q′M=n，則QN=2n，于是用含m、n的式子分別表示出點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)依次為6-2m+n、2m-2n，這時(shí)根據(jù)點(diǎn)M、N關(guān)于直線x=對(duì)稱，可得方程（6-2m+n）+（2m-2n）=2×，解得n=3，于是QN=6，問題獲解.

二、圍繞該考題的解題教學(xué)建議

1.教師要善于對(duì)比不同解法，追求簡潔和不斷優(yōu)化思路

教師在面對(duì)一道新中考題（特別是本地區(qū)的中考?jí)狠S題、把關(guān)題）時(shí)，不宜先看答案，因?yàn)橛行┙獯穑ㄌ貏e是網(wǎng)傳解答）往往個(gè)性化成分多，有些甚至是“超標(biāo)”的、繁雜的、有思維回路的，教師在獨(dú)立思考，獲得思路貫通之后，再去對(duì)比不同解答，比較它們的不同，追求簡潔的表達(dá)，更自然的解題念頭，更直觀的解法展示，讓更多的學(xué)生依賴基本數(shù)學(xué)概念、定義、重要定理就能想清、想透.

2.教師要站在學(xué)生立場(chǎng)思考，想清辨明難點(diǎn)與關(guān)鍵步驟

在預(yù)設(shè)解題教學(xué)時(shí)，“理解學(xué)生”（即章建躍博士倡導(dǎo)的“三個(gè)理解”之一）是更重要的，如學(xué)生已有哪些解題經(jīng)驗(yàn)，可以從哪些角度突破關(guān)鍵一步，哪些解題念頭對(duì)所教學(xué)生是自然的、可行的，等等.比如，上文考題中兩條拋物線關(guān)于原點(diǎn)也是位似形是一個(gè)基本背景，在教學(xué)時(shí)，如果學(xué)生以前對(duì)“拋物線都是相似的”這一性質(zhì)就沒關(guān)注過，就需要做適當(dāng)?shù)耐卣梗@樣學(xué)生在思路獲得、難點(diǎn)轉(zhuǎn)化時(shí)就會(huì)有較好的“題感”.再如，學(xué)生在解考題最后一問缺少必要的思路時(shí)，要啟發(fā)他們結(jié)合拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，找出對(duì)稱點(diǎn)，想清哪些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，梳理之后，往往就能獲得一些數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造出方程求解.

3.注重較難題的講評(píng)突破，通過鋪墊式問題促進(jìn)思考

較難題（像上文中的壓軸題）講評(píng)前需要想清辨明解題的主要障礙、預(yù)設(shè)學(xué)生可能的理解障礙、關(guān)鍵步驟如何更加自然獲得，這樣就可以在這些難點(diǎn)或關(guān)鍵步驟之處預(yù)設(shè)一些鋪墊式問題，幫助學(xué)生自主獲得思路貫通.比如，第（1）問中對(duì)于條件“2AP＞OQ”的解讀就是關(guān)鍵一步，網(wǎng)傳解答運(yùn)算量過大、方法不當(dāng)，也可看成對(duì)這個(gè)條件的解讀不到位，我們可以預(yù)設(shè)如下一些鋪墊式問題：

鋪墊問題1：根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn)，OP與OQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系？如何演算？（預(yù)設(shè)OQ=2OP，這樣就可把條件“2AP＞OQ”轉(zhuǎn)化為“AP＞OP”）

鋪墊問題2：從分析“AP＞OP”對(duì)應(yīng)的不等式來看，我們也可以先思考“AP=OP”時(shí)對(duì)應(yīng)的m的值，同學(xué)們思考，在什么情況下，AP=OP？（預(yù)設(shè)作出線段OA的垂直平分線，并安排學(xué)生求出它的解析式y(tǒng)=-x+4）

鋪墊問題3：求出它的解析式為y=-x+4有什么作用？（預(yù)設(shè)學(xué)生應(yīng)該會(huì)想到將y=-x+4與拋物線的解析式y(tǒng)=x2-3x聯(lián)立，解出m=1-或1+，再數(shù)形結(jié)合地分析取值范圍）

三、寫在后面

中考?jí)狠S題的解題研究是很多老師的興趣，特別是對(duì)本地區(qū)的考題研究，我們見到的很多考題解答卻多是“網(wǎng)傳”“不規(guī)范”解答，很少能見到像 高考試卷那樣試卷與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一樣的“官方版本”，期待更多的命題專家能多多寫出這些較難題的命題設(shè)計(jì)與立意，既對(duì)解題研究有一定的導(dǎo)向，對(duì)廣大備考師生也是一種很好的教學(xué)導(dǎo)向.我們上面的思路商榷與教學(xué)建議也是個(gè)性化成分多，期待批判研討.