函數應用題解題策略的探討分析

☉江蘇省蘇州市蘇州工業園區星澄學校 呂 琴

應用一次函數的相關知識解決實際問題是中考的考查要求，函數應用題也成為近幾年中考的熱點問題.該類問題的求解需要明確考題立意，結合相應的基礎知識，從聯系性角度加以解決.本文將以一道一次函數應用題為例探討解題策略，并進行考題拓展，與讀者交流學習.

一、試題呈現

（2018年江蘇省蘇州市中考數學第28題）如圖1，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點A、D在直線l上，小明從點A出發，沿公路l向西走了若干米后到達點E處，然后轉身沿射線EB方向走到點F處，接著又改變方向沿射線FC方向走到公路l上的點G處，最后沿公路l回到點A處.設AE=x米（其中x＞0），GA=y米，已知y與x之間的函數關系如圖2所示.

（1）求圖2中線段MN所在直線的函數表達式.

（2）試問：小明從起點A出發直至最后回到點A處，所走過的路徑（即△EFG）是否可以是一個等腰三角形？如果可以，求出相應x的值；如果不可以，請說明理由.

圖1

圖2

二、策略探析

函數應用題與常規函數題相比最為突出的特點是重在應用，與生活實際結合緊密，該類問題的求解需要采用相應的解題策略，可分以下三步進行：

第一步：明確考題的考查立意

明確考題立意是求解函數應用題的前提條件，即通過讀題反復推敲考題的問題條件，從中提取出關鍵信息，理解命題的立意.只有理解了立意，才能把握問題求解的方向，進而采用相應的解題思路，提高解題效率.另外，在讀題時需要把握考題的性質，如確定涉及的圖形、函數類型，以及問題的基本形式.

如上述考題涉及了兩幅圖，圖1是基本的幾何圖形，表示小明的運動軌跡，圖2是一次函數圖像，表示公路l上相關距離的對應值，即AE與GA的關系，用以確定點A的具體位置，對應的兩個問題分別考查函數和幾何相關知識.

（1）本小題求函數的解析式，實際上考查的是函數圖像上點的讀取，以及圖像與函數的解析式的關系，需要我們掌握圖像上點的坐標到解析式的求解過程，即利用點的坐標求解析式的特征參數.

（2）本小題分析小明所走路線是否可以構成等腰三角形，從等腰三角形的判定條件出發，可以獲得兩種思路：一是存在等角，二是存在等邊.考慮到問題中只出現了路徑、長度條件，因此需要研究邊長來完成求解，實際上就是考查等腰三角形的特性.

第二步：重視考題的基礎知識

函數應用題一般是相關數學知識的綜合，如幾何圖形、函數圖像、代數方程、基本不等式等，其中最關鍵的還是函數知識，理解函數的基本性質和應用條件是求解函數應用題的基礎.需要注意的是，函數應用題是在基礎知識上的整合、拓展，因此只有充分掌握相應的基礎知識，才能實現函數應用題的快速求解，其中包括函數性質、數學模型、研究方法.

對于上述考題，需要基于考題立意，根據問題條件思考、調用基礎知識，如第（1）問求解的是一次函數的解析式，需確定函數解析式中的k和b，已知函數上的關鍵點，由函數圖像性質可知圖像上的點滿足函數的解析式，故只需要將點的坐標代入解析式即可，使用的方法是待定系數法，具體過程如下：

由圖像可知點M和N的坐標分別為（30，230）、（100，300），設線段MN所在直線的解析式為y=kx+b，將點M和N的坐標分別代入，得所以MN所在直線的函數表達式為y=x+200.

而對于問題（2），求x為何值時△EFG為等腰三角形，需要分析三角形內存在的等邊關系，然后確定x的值，考慮到題干信息沒有對△EFG的等邊進行約束，因此需要采用分類討論的方式，分別討論FE=FG、FG=EG、EG=FE時的情形，分析其合理性，其中涉及的基礎知識有幾何性質、解方程等.

第三步：加強考題的知識關聯

函數應用題實際上也是綜合問題的代表，涵蓋了多領域的知識，如上述考題涉及了幾何與函數知識，而兩者之間存在著緊密的聯系，求解時需要準確把握知識的聯系性，構建相應的解題思路.另外，對知識的整合過程，也有利于知識的進一步內化和吸收，有利于形成系統的知識體系.

如上述考題的第（2）問，求解△EFG為等腰三角形時x的取值，結合之前的分類情形加以討論：

圖3

①分析FE=FG成立的可能性.結合一次函數的解析式y=x+200，AE=x，GA=x+200，連接CE，如圖3所示，由于AD=100，可得ED=GD=x+100.又因CD⊥EG，則△CEG是以點C為頂點的等腰三角形，即CE=CG.根據等角對等邊的性質，可得∠CEG=∠CGE，則∠FEG≠∠FGE，故FE=FG不可能成立.

②分析FG=EG成立的可能性.四邊形ABCD為正方形，則BC∥EG.根據平行線的性質，可得∠FBC=∠FEG，∠FCB=∠FGE，則△FBC △FEG.首先假設FG=EG.由三角形相似的性質，可推得FC=BC=100.因為AE=x，結合一次函數的解析式，可得GA=x+200，則DG=GA-AD=x+100，FG=EG=EA+AG=2x+200，則CG=FG-CF=2x+100.在Rt△CDG中，根據勾股定理，得CD2+DG2=CG2，可構建關于x的方程，即1002+（x+100）2=（2x+100）2，解得x1=-100（該值為負值，舍去），x=，所以當x等于時，有2FG=EG，此時△EFG為等腰三角形.

③分析EG=FE成立的可能性.分析思路同②，根據正方形的性質可以證明△FBC △FEG.假設EG=FE.同理可得BE=EF-FB=2x+100.在Rt△ABE中，根據勾股定理，得AB2+AE2=EB2，代入對應邊長構建方程，即1002+x2=（2x+100）2，解得x1=0（點A和點E不能重合，故舍去），x=-（該值為負值，舍去），即沒有滿足條件的x2值，故不存在EG=FE成立的可能性.

三、拓展考題

上述考題是與平面幾何相結合的一次函數應用題，屬于運動問題，中考對于一次函數應用的考查也常從方案設計的角度進行，即給出相關一次函數的圖像，通過對圖像的分析確定問題解決的方案，求解時需要采用代數分析的方式，通過列方程、不等式轉化變形等方式求解.

考題：某果園為了更新樹種，準備購買A和B兩個品種進行育苗配栽，如果購買兩種樹苗的總數為45棵，A種樹苗為7元一棵，圖4為B種樹苗購買所需的費用y（元）與數量x（棵）之間的函數關系圖.

（1）試求y與x的函數解析式.

（2）如果要求購買B種樹苗的數量不能超過25棵，且不少于A種樹苗，試設計購買方案，要求所用的費用最低，并求出最低費用.

圖4

分析：本題同樣為一次函數應用題，與第一道考題的區別在于該題目為方案設計類，需要根據一次函數的解析式設計出最優方案，考查內容涉及一次函數的性質和不等式等知識.第（1）問為常規的函數表達式求解，采用待定系數法即可.對于第（2）問，則需要根據題干條件構建不等式組，然后構建研究總費用的函數模型，最后結合一次函數的性質求解.

解：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b，取圖像上的兩個點（20，160）、（40，288），將其代入解析式，可得

（2）根據條件“購買B種樹苗的數量不能超過25棵，且不少于A種樹苗”，可得不等式組22.5≤x≤25.設購買樹苗的總費用為F，則F=6.4x+32+7（45-x）=-0.6x+347.F是關于x的函數，其斜率為負數，則F的值隨著x的增大而減小，故x在取值范圍內取得最大值時，F獲得最小值，即購買樹苗的費用最低.當x=25時，F取得最小值332，即最低費用為332元.

四、歸納與總結

一次函數應用題涉及眾多的知識點，如一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式及平面幾何知識等，但問題求解的基礎依然是對一次函數相關內容的理解，包括定義、解析式、性質、圖像等，對其進行總結歸納，對于解題策略的形成有著重要的意義.

1.特征參數

一次函數的表達式含有兩個特征參數：k和b，因此對于某一未知的一次函數，取兩個滿足該函數解析式的點的坐標，采用待定系數法構建二元一次方程組即可確定其解析式.其中特征參數k表示的是函數的斜率，而參數b表示函數在x軸上的截距.

2.圖像與性質

對于一次函數函數y=kx+b，其特征參數k決定了函數的增減性，而參數k和b則直接控制函數在平面坐標系中的分布，因此在分析函數性質及象限分布時，只需確定特征參數的符號.另外，對于斜率k，其絕對值越大，表示y隨x的變化越快，則圖像的斜度越大.

一次函數應用題作為衡量學生知識應用能力的一項指標，是對“知識源于生活，又服務于生活”理念的體現，考題中涉及眾多的知識點，對于學生鞏固基礎知識，加強知識聯系，有著極大的幫助.另外，一次函數應用題的解題過程是“實際問題”向“數學模型”抽象的過程，滲透于考題中的數學思想可以在潛移默化中提升學生的解題思維，促進學生解題策略的形成，學習和掌握該類問題對于學生綜合素養的提升有著重要意義.