慧練：溝通算理和算法的橋梁
——“有余數的除法練習”教學實錄與評析

江蘇南京市南師附中仙林學校小學部（210023）

江蘇南京市棲霞區教師發展中心（210028） 張明紅

【教學內容】

蘇教版教材二年級下冊第一單元“有余數的除法”整理與練習。

【教學目標】

1.進一步理解有余數除法以及余數的含義，體會余數要比除數小的道理；能應用有余數的除法解決相關的實際問題，能根據問題的實際背景合理確定問題結果。

2.在計算和解決問題的過程中，能有根據地思考并有條理地表達；能對商和余數的合理性做出正確判斷，具有初步的推理能力；感受有余數除法的應用價值。

3.初步具有觀察比較、獨立思考等學習意識和習慣，感受數學是具有規律的科學；體會解決實際問題的數學處理方法，培養根據實際情況靈活解決問題的科學態度。

【教學過程】

師：猜一猜，這三道題中的桃子下面的數是幾？在小組里說一說你是怎么想的。

生1：第（1）題中，桃子下面的數是 1，因為 7×6＝42，43－42＝1，所以余數是 1。

生2：第（2）題中，桃子下面的數是 34，我先算 5×6＝30,再算 30＋4＝34，被除數是 34。

生3：13－3＝10,5×2＝10，13÷5=2……3，所以第（3）題中，桃子下面的數分別是5和2。

生4：我也覺得第（3）題桃子下面的數是5和2，但我的算式跟生3的不同，我的算式是13÷2＝5……3。

生5：生4的算式不對，除數是2，余數怎么可能是3！

生6：對，余數要比除數小！

師：看來大家都認可“余數要比除數小”，誰能解釋其中的道理呢？

生7：老師說過，在有余數的除法里，余數一定要比除數小。

生8：我們分過鉛筆和小棒，分到最后，剩下來的一定是少的。因此余數是3，除數肯定不能是2。

師：為了能說得更清楚，請大家拿出13根小棒，先看著算式擺一擺，再說一說為什么余數是3，除數就不能是2。

生9：我擺的是 13÷5＝2……3，把 13 根小棒，平均分成5份，每份2根，還剩下3根。

生10：我擺的是 13÷2＝5……3，把 13 根小棒，平均分成2份，每份5根，還剩下3根。這剩下的3根還可以繼續分的，所以如果把13根小棒平均分成2份的話，每份是6根，只能剩下1根。

師：余數如果比除數大還能接著分，那么余數與除數相等呢？

生11：也不行，也能再分，分完沒有余數。

……

【評析：低年級學生以形象思維為主，觀察事物不夠精確。因此，教師在深入研讀教材，充分了解學生已有經驗的基礎上，應精心設計有趣且有效的課堂練習。以猜數入手，利用題組練習實現了由淺入深、由易到難、由簡到繁、循序漸進的訓練目的。對于第（3）題，在兩個桃子的下面是數字幾這一問題上，學生產生了不同意見，但是他們在操作、討論、交流，甚至“爭吵”的過程中不僅厘清了有余數除法算式中各部分之間的關系，更對“余數要比除數小”的本質規律有了深入的理解，學生思維的深刻性得到了培養。】

師（出示四道豎式，如圖1）：“粗心大王”小明做了4道題，卻錯了2題。請與同桌合作，先找出小明做錯的題目，再給小明提點建議。

圖1

（學生完成后匯報，教師補充有關計算有余數的除法的注意事項）

師（指著糾正之后的第3道豎式，如圖2-1）：如果給這道算式加上單位名稱，它就能幫助我們解決生活中的實際問題了。（課件出示橫式和文字表述的題目：猴媽媽摘了15個桃，平均分給2只小猴，每只小猴能分幾個？還剩幾個？）請在圖2-2的圈里畫圖表示分桃的結果，再想一想豎式中的14是指圈里的哪些桃？

圖2-1

圖2-2

生1：14指的“每只小猴分7個桃，2只小猴一共分走了14個桃”。

……

【評析：算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉概括，它們是相輔相成的。找做錯的題目，是讓學生在運用所學的有余數除法的知識分析錯因，通過觀察、比較、判斷將其改正的過程中，將有余數除法計算的算理和算法一一呈現出來。在解決實際問題的環節里，學生結合具體情境解說豎式中各數表示的含義，再次理解了除法豎式計算的算理。兩道題目前后呼應、環環相扣，讓算理與算法完美結合在一起。教師在了解學生思維水平的基礎上，不但喚起了學生的已有學習經驗，還讓學生知道怎樣算，更知道為什么這樣算。】

師：生活中還有很多問題需要應用有余數的除法的知識來解決。請看題目：

同學們去劃船，每條船最多坐6人。三（1）班有22人，至少需要租（ ）條船；三（2）班有26人，至少需要租（ ）條船；兩個班共同租船，至少需要租（ ）條船。

生1：22÷6＝3（條）……4（人），3+1=4 條，三（1）班需要租4條船。

生2：26÷6＝4（條）……2（人），4+1=5 條，三（2）班需要租5條船。

生3：我想提醒大家，租船的時候遇到有余數時，要多加1條船。

生4：是的，余下的同學也要坐船，所以要再加一條船。

生5：兩個班共同租船，需要租9條船。

生6：不對，8條船就夠了。兩個班共48人，6人一條船，8條船就夠了。

生7：8條和9條都可以！

生8：9條不可以，題目問的是至少幾條船。

師：“至少”是什么意思？沒有這兩個字會怎樣？

生9：“至少”就是每個同學都能坐上船，也不能有太多空位，不能浪費！

生10：如果沒有“至少”的要求，9 條、10 條、20 條船都可以了。

師：有道理，現在再想想，你們覺得至少要租幾條船？

生（齊）：8條！

【評析：數學源于生活，應用所學知識分析和解決生活中的實際問題，是學習數學的出發點和歸宿。租船問題是有余數除法訓練中的常規問題，如果只是讓學生按部就班地做題，他們往往提不起興趣。為了讓練習有新意，在完成兩題常規練習后，教師借助兩個班合租船的問題，引發學生的爭議，既提升了問題的思維難度，又激發了學生的學習興趣。這樣，學生既鞏固了計算方法，又在運用知識解決問題的過程中培養了分析、理解能力。】

【總評】

練習課在小學數學課程中占有較大比重，它是新授課的補充和延續，也是鞏固與強化所學知識的重要手段。學生能力的提高和創新意識的培養都離不開練習。要讓練習課精彩、高效，就得改變傳統練習課的教學模式。教師在深入研讀教學內容的基礎上，應精心設計、創編練習題，讓學生在有趣味、有意義、有挑戰的練習過程中，透過現象看本質，逐步加深對數學知識的理解，以促進學生主動學習，讓練習課更加精彩。

一、關注特點，有趣味性

“興趣是最好的老師”，對于低年級學生來說，最重要的是讓他們感到不但新授課有趣，練習課也很有趣。練習題型和練習方式的多樣化，可以使學生學得主動、學得扎實、學得靈活。依據學生的年齡特征和認知水平，本課教學創編了一系列充滿童趣的習題，如“桃子藏數”“幫猴媽媽解決問題”“幫‘粗心大王’小明查錯糾錯”“幫同學解決租船問題”等活動。這樣既能減輕學生練習時的心理負擔，又能提高練習的效率。整個練習過程中，沒有生搬硬套，有的只是根據學生年齡特點和已有經驗而精心設計的練習，這些練習有趣高效、層次分明，學生喜聞樂見，充分體現了數學課程標準要求的“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的”這一基本理念。

二、緊扣本質，有針對性

練習課的設計應從教學內容和學生已有經驗出發，針對各部分知識結構中的重點和難點，創編符合學生思維特點和認知發展的客觀規律的練習題。掌握有余數的除法以及余數的概念，體會余數要比除數小的道理，是“有余數的除法”的教學重點，也是教學難點。教師針對本課的教學重難點創設不同的問題情境，練習題的設計環環相扣，由易到難。“桃子藏數”練習的目的有二：一是讓學生掌握有余數除法算式中各部分之間的關系；二是加深學生對有余數的除法中“余數要比除數小”這一知識點的認識。經歷了分小棒出現余數，學生就進一步理解了“余數要比除數小”的本質規律；幫粗心的小明找錯、糾錯，學生就掌握了有余數除法計算的算理與算法；幫猴媽媽分桃——學生在情境、豎式和圖示的引領下，接觸到問題的本質。這一系列的練習有效地實現了將有余數除法計算的算理和算法自然融合，讓學生真正做到“知其然，更知其所以然”的目標。

三、聯系生活，有實用性

荷蘭數學教育家漢斯·弗賴登塔爾認為：“數學來源于現實，也必須扎根于現實，并且應用于現實，數學學習的過程應該是幫助學生把現實問題轉化為數學問題的過程。”

教學實踐告訴我們，練習課里如果只是不停地做題，學生會感到枯燥乏味，學習也只會盲目而低效。練習題的創編，要從學生的實際生活中挖掘素材，練習設計要具有開放性，要能直接反映學生的日常生活。租船問題是有余數除法訓練中的常規問題，教師在兩題常規練習后增加了兩個班合租船的問題，學生在完成基礎練習后，發現解決合租問題時不僅要考慮余數，還要考慮生活中的實際情況。這樣的綜合訓練，不但拓展了學生對有余數除法的認知，還激發了學生的學習興趣。同時，學生從中還學會用數學的思維方式去分析、解決問題，并深刻體會了數學與其他學科及生活的緊密聯系。

總之，練習題型的創編要關注學生的已有學習經驗，采用多種手段激發學生的求知欲，增強學生學習的主動性。結合學習內容用不同方式和板塊呈現練習形式的多元化，豐富課程資源，開拓學生眼界，使其逐步形成并具有運用數學知識解決生活中實際問題的能力。練習題型的創編應力求突破傳統教學思維，把學生數學學習的時空由課堂引向整個世界，堅持以學生為中心，培養學生的創新能力和思辨能力。

張明紅.至理數學:一種直抵數學本質的教學主張［J］.中小學教師培訓,2017（7）.