如何在問題解決后進行“問題創造”

☉重慶市忠縣中學校 成 波

數學概念、公式、法則、定理以及習題與應用中都包含著無所不在的問題，所有的數學教學都可以看成是問題的解決，教學工作在某個問題解決之后又應該繼續哪些行為呢？

一、“問題創造”的價值

（一）促進學生深層理解

例1 筆者在“直線與平面垂直的判定定理”的教學之后引導學生圍繞該定理進行了問題的再創造.

學生在筆者的適當點撥與自己的嘗試下創造出了以下判斷題并交由同桌進行了判斷練習：

（1）假如某一直線與平面內的一條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說明：將母題中的“兩條相交直線都垂直”這一條件減弱成“一條直線垂直”，不改變其他條件和結論.

（2）假如某一直線與平面內的兩條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“相交”兩字除去，不改變其他條件和結論.

（3）假如某一直線與平面內的無數條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“兩條相交直線”改變成“無數條直線”，而對其他條件和結論則不進行任何改變.

（4）假如某一直線與平行于該平面的兩條異面直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（）

說明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“兩條相交直線”改成“兩條異面直線”，不改變其他條件和結論.

學生在自己創造問題并相互交換的解答中對該定理內容自然而然產生了更加深刻的理解.

（二）促進學生系統地掌握知識

例2 筆者在“直線與平面”這一內容的復習教學中首先設置了以下填空題：

母題（填空題）：平行于同一條直線的兩條直線之間的位置關系應該為______.

然后將學生分成四人小組并引導學生運用類比仿造的方法進行填空題組的創造，請學生再將題組提供給其他小組進行思考、討論與交流，學生創造的填空題組及答案如下：

（1）若某直線與某平面同時平行于一條直線，則兩者之間的位置關系應為______.（平行/直線在平面內）

說明：母題中的“兩條直線”這一條件改變成了“某直線與某平面”，沒有改變其他的條件和結論.

（2）若有兩個平面同時平行于一條直線，則兩者之間的位置關系應為______.（平行/相交）

說明：母題中的“兩條直線”這一條件改變成了“兩個平面”，沒有改變其他的條件和結論.

（3）若有兩個平面同時平行于某一個平面，則這兩個平面之間的位置關系應為______.（平行/相交/異面）

說明：將母題中的“同一條直線”這一條件改變成了“某一個平面”，而對其他條件與結論則不作改變.

（4）若一條直線與一個平面同時平行于同一個平面，則這條直線與這個平面之間的位置關系應為______.（平行/直線在平面內）

說明：母題中的“同一條直線”“兩條直線”這兩個條件分別改變成了“同一個平面”“一條直線與一個平面”，沒有改變其他的條件和結論.

（5）若有兩個平面都平行于同一個平面，則這兩個平面之間的位置關系應為______.（平行）

說明：將母題中的“同一條直線”“兩條直線”這兩個條件分別改變成了“同一個平面”以及“兩個平面”，而對其他的條件和結論則不作改變.

（6）若有兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線之間的位置關系應為______.（平行/相交/異面）

說明：將母題中的“平行”這一條件改變成了“垂直”，而對其他的條件和結論則不作改變.

（7）若有一條直線與一個平面都垂直于同一條直線，則該直線與該平面之間的位置關系應為______.（平行/直線在平面內）

說明：將母題中的“平行”“兩條直線”這兩個條件分別改變成了“垂直”與“一條直線與一個平面”，而對其他的條件和結論則不作改變.

（8）若有兩個平面都垂直于同一條直線，則這兩個平面之間的位置關系應為______.（平行）

說明：將母題中的“平行”“兩條直線”這兩個條件分別改變成了“垂直”與“兩個平面”，而對其他的條件和結論則不作改變.

（9）若有兩條直線都垂直于同一個平面，則這兩條直線之間的位置關系應為______.（平行）

說明：將母題中的“平行”“同一條直線”這兩個條件分別改變成了“垂直”與“同一個平面”，而對其他的條件和結論則不作改變.

學生自己也不禁驚訝于這些定理、習題串聯上的再創造，在相互之間的交流與探討中也更加系統地構建了所學習的內容.

（三）培養學生的創造性思維

創造能力的培養需要創新性思維的不斷發展這一核心作為有力的支撐，因此，教師應著眼于學生創造性思維的激發與鍛煉進行具體的教學，問題解決之后的再創造對于學生好奇心與探索欲的激發是極其有效的途徑，更為重要的是能夠使學生在不斷的思考與探索中充分發揮出其聰明才智并促成創造性思維最大限度的發展.

例3 筆者在“三角函數”這一內容的教學之后引導學生對以下題目進行了證明.

母題：在△ABC中，求證：sinA+sinB+sinC=

然后將學生分成四人小組并引導學生創造出更多的三角恒等式，引導學生相互之間進行創造問題的探索.

學生在自己的努力與合作交流之下創造出了十多種的三角恒等式，部分創造思路如下：

（1）把已知條件“在△ABC中”這一條件削弱成“A+B+C=π”，則有如下命題：

命題1：若A+B+C=π，則sinA+sinB+sinC=

（2）有學生又分別應用倍角公式將上述恒等式的左邊三項進行變式且兩邊同時除以最后再應用商數關系得出以下這一命題：

命題3：若A+B+C=π，則cosA-cosB+sinC=

學生在不斷的認識與推理中前進并獲得了很多意想不到的成功.

二、“問題創造”的教學之道

（1）在“問題創造”的起始階段進行示范并告知學生方法，使學生能夠進行初步的模仿.

（2）幫助學生明確創造的目的，使學生能夠圍繞一定的核心思想進行嘗試.

（3）引導學生在解答題、選擇題、填空題等不同題型中進行換位思考并嘗試新問題的創造.

（4）引導學生著眼于課本內容與題目進行新問題的創造并因此促進學生對教學內容的多方面思考與深刻理解.

教師在學生進行嘗試與創造時應經常巡視學生的活動開展情況，對無從下手的學生進行及時的啟發以及適當的提示并給予肯定和鼓勵，使學生能夠保持一定的創造興趣并進行相互交流、討論，使學生能夠在集思廣益、取長補短的互幫互學中得到更多的體驗與深刻理解.

三、“問題創造”的方法

（一）在削弱條件的基礎上創造

選擇原問題中的某一條件或多個條件進行適當的減弱或改變并獲得新問題是“問題創造”的一種常見方法，一般來說，這可以理解成解題者在解決原問題之后所作出的進一步研究.

例4假設A，B分別為直角三角形的兩個銳角，求證：sin2A+sin2B=1.

引導學生對此題證明之后進行進一步的研究可發現，當原命題中的條件減弱成“A+B=”時，原命題中的結論仍舊成立.

（二）類比模仿中創造

引導學生運用類比的方法對原問題中條件或結論中的某些概念進行模仿改造也是常用的方法.比如，將平面幾何問題類比成立體幾何問題的過程中采取的就是這一方法與思想.

（三）著眼于結果進行創造

著眼于原問題的結果進行變形并因此得出新命題的方法在“問題創造”中也比較常見.

（四）在一般推廣中進行創造

將原命題視作一般命題的特殊情況并在此基礎上進行新的更為一般的命題的創造.

（五）結果與條件互換中進行創造

將原問題中的結果與某個條件進行互換也是問題創造的一個重要方法.

回顧自己二十多年的教學生涯，按照以上做法進行“問題創造”也確實取得了很好的教學效果，今將筆者的一點思考與體會結合教學實際撰寫成文，敬請同仁指正.