如何在高中數學概念教學中培養學生的反思能力

☉湖北省麻城市實驗高級中學 董勝兵

學生在教師引導下的認知以及自身的發展在課堂教學過程中是同步發展的，學生的反思性學習能力在這一過程中也會得到很多的鍛煉與發展，因此，教師在課堂教學中應盡量創設學生反思的條件與機會以促進其反思與拓展能力的提升.高中數學概念教學是學生進行所有數學學習與活動的基礎，其重要性自然是眾所周知的，但學生將理解停留于概念理解的表層這一現象比比皆是.很多學生只能在一定的背景框架下進行概念的直接應用，一些需要分析、建模后再應用的能力卻是很多學生不具備的.很多在實例中歸納得出的數學概念往往很容易被學生接受和理解，但一些運用已有知識對新概念進行理解的過程對于學生來說卻頗有難度.教師在運用已有知識對新概念進行數學定義的過程中應盡量創設出合理的問題情境并引導學生對其進行探索，使學生在不斷反思“為什么”的過程中對概念形成深刻的理解.那么，在數學概念的教學中應該怎樣培養學生的反思習慣與能力呢？

一、引導學生在實例中形成反思

例如，抽象的函數概念教學就可以首先從生活實例中引導學生對其進行感受，使學生能夠在給定的兩個數集中對“一對一”的對應關系進行體會，然后引導學生自主舉例來思考“一對多”、“多對一”的實際含義，學生在新概念的引入以及初中函數概念的回顧中很快能夠理解函數這一特殊的對應，函數的定義在學生的理解中也就變得水到渠成了.

函數這一非空數集之間的特殊對應應滿足A集合元素的任意性與B集合元素的唯一性這一本質含義是函數概念學習中最為重要的，教師在函數定義得出之后應適時對學生進行設問、實例分析以促進學生完整經歷函數概念的形成，使學生在問題的思索與探究中對概念形成真正的掌握與理解.比如，教師在強調“定義域”的重要性時往往會強調“解析式相同、定義域不同的函數是不相同的函數”，但這樣的抽象強調比不上具體的例子更讓人清晰理解.例如：每支水筆4元，總價y和支數x之間存在怎樣的函數關系？小明上學步行速度為4km/h，總距離y和時間x之間存在怎樣的函數關系？引導學生在實例中列出函數關系式并思考“為什么”、“怎樣區別”等問題，然后再引導學生自己舉出合適的例子，這在學生自主練習之前是必不可少的.

二、引導學生在情境中形成反思

例如，在指數函數概念的教學中可以設置以下情境：“一張厚度約0.1mm的白紙對折28次后會有多厚呢？會不會有七八層樓房那么高呢？”在學生不得其解之時略作停頓：“對折28次后的厚度比珠穆朗瑪峰的高度8848m還要大！”在學生驚訝之余繼續指出：“今天我們就會學習指數函數，大家學習之后就能算出對折28后的厚度大約是13442m了.”學生在懸念型的問題情境中很快變得主動而積極.

三、引導學生在類比中形成反思

例如，在球的概念教學中可以先對圓的定義進行復習：圓就是同一平面內所有到定點的距離等于定長的點的集合.然后可以引導學生在去掉“同一平面內”這一條件后對所有點的集合所形成的圖形進行思考，最后給出球的定義：球就是空間中到定點的距離小于或等于定長點的集合.在學生感受到球是實心的這一性質中再舉出鉛球、籃球、乒乓球等學生熟悉的物品并引導學生判別哪些是數學中的“球”，在引導學生再總結球體這一空間圖形的性質中對球的概念形成透徹的認知.

四、引導學生在數學概念的聯系中形成反思

1.在概念的橫向聯系中形成反思

同一數學概念的內部邏輯結構、概念與各種等價表示，以及具體模型相聯系的外部表示之間的抽象即為此處所討論的數學概念的橫向聯系，描述的對象、性質、思想方法、注意點等都是包含在其中的重要內容.

例如，等比數列這一具備特殊性質的數列往往給學生極其抽象的感覺，但如果能給出具體的數據并引導學生發現其中的各項之比，學生便能很直觀地在這樣一個特殊化的處理方法中獲得概念本質上的認知.因此，教師在概念教學中可以根據需要引導學生對概念之間的聯系進行反思以促成學生精確理解.

例1已知等比數列{an}，a3=3，a7=48，求a5、a6.

解析：設首項為a1，公比為q，由題意得

解得a1=0.75，q=±2，則a5=12，a6=±24.

學生解這一基礎題并沒有難度，但教師在此題解決之后應引導學生進行以下反思：①a6怎么會出現正負兩個答案？②如果存在兩個答案，你能寫出它們對應的數列嗎？③觀察a3、a5、a7之間的關系可得a52=a3×a7，進一步證明推理可得am×an=ap×aq（m+n=p+q）.由淺入深的三點反思將概念展現得更加具體并進行了適當的外延.

簡單的例題展示出了反思學習在概念聯系中所能展現的價值，例題中所隱含的概念聯系正是此題的關鍵，教師的適時引導更好地加深了學生對概念的認知與理解.

2.在概念的縱向聯系中形成反思

不同數學概念之間的聯系即為數學概念縱向之間的聯系，高中數學學習中所涉及的概念始終貫穿學生高中整個階段的數學學習，很多概念之間都存在著息息相關的聯系，很多看似獨立的概念也都不是孤立的存在，眾多元素所構成的節點將很多前后所學的概念緊密地聯系起來，不僅如此，很多看似獨立的不同概念之間在對象、結構、思想方法上都存在著一定的相似與關聯，因此，在概念的縱向聯系之間進行一些元素的提取是非常有必要的，這對于后續新概念的學習都是相當重要的鋪墊，教師在實際教學中適度地引導學生對概念縱向聯系進行反思能夠使學生更好地明晰概念間的相互關聯.

比如求解三角形的題目就經常在三角函數正弦定理與余弦定理的知識點中出現.

例2 （1）在△ABC中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，求b；

直接運用正弦公式與余弦公式就能夠解決這六道基本的解三角形小題，解完之后可以發現（3）與（6）的解不唯一，其他四道小題的解都是唯一的，為什么會出現這一現象呢？怎樣的情況下會令解唯一呢？對題目進行進一步觀察不難發現，題中所給的條件基本都是三角形的兩邊一角、兩角一邊、三邊，從已知條件不難聯系全等三角形的相關知識，對題目與答案再觀察可以發現，如果已知條件符合三角形全等的判定條件，其解正是唯一的，那么我們是否可以考慮已知條件不符合三角形全等條件時，其解不唯一呢？

回頭再觀察六道小題不難發現，解不唯一的（3）與（6）確實不符合三角形全等的判定，其余四題中（1）、（4）、（5）的已知條件符合三角形全等的判定，因此其解唯一，值得注意的是（2）因為平面三角形內角和這一因素舍去了一個解.那么三角形的解唯一必須滿足怎樣的條件呢？根據以上小題可知，三角形的解唯一有兩種情況，一是題中已知條件滿足三角形全等的判定，一是已知條件不符合三角形全等的判定，后一種情況中也只能存在已知兩邊與其中一邊所對應的角.因此可以設已知a、b、∠A，若∠A為鈍角或直角，那么三角形的解唯一；若∠A為銳角，則分情況討論可得bsinA=a時解唯一，當a≥b時解唯一，當bsinA＜a＜b時解不唯一.

正弦定理與余弦定理的概念在這六道小題的解決與反思中得到了進一步的深化.

數學概念的準確認知與理解往往能夠直接影響學生對數學學習的效果，概念聯系基礎上的反思能夠引導學生在新舊概念之間形成更加深入而透徹的認知.教師在實際教學中應重視數學概念這一“根”和“本”延展與反思，為學生盡量創造出更多的反思機會以促進學生對概念的扎實理解與綜合應用.