方程
——讓學生如何說愛你

（溫州市甌海區南仙實驗小學 浙江溫州 325000）

教學現狀:

題目:書店的圖書憑優惠卡可打八折，小明用優惠卡買了一套書，省了9.6元。這套書原價多少元？這是人教版小學數學六年級下冊百分數（二）單元第13頁中的練習3，當時給學生們做這道練習，發現錯誤率比較高，但是列方程來解決這道題的同學幾乎都是對的，于是就采訪了一位做這題有困難的學生。

師：“這道題你的困難在哪里？”生：“我不知道怎么做？”師：“題目看不懂嗎？”生：“看得懂，但是還是想不出來。”師：“你為什么不嘗試用方程去做呢？”生：“方程太麻煩了，還要寫解設。”師：“那你能找到等量關系嗎？9.6元是怎么來的？生：“原來的價格減去現在的價格。”師：“現在假設原價是x，你能把方程列出來了嗎？”生：“是不是x-80%x=9.6”師：“你看用方程不是很簡單嗎？為什么你不喜歡用方程來解呢？”生：“簡單的問題不想用方程，難的有時候想不出方程怎么列，有時候是列了方程不會解”

接著我也采訪了一位成績比較好的同學，但是這道題也出現了錯誤，他寫的算式是9.6÷80%

師：“這道題你能用方程來解嗎？”生：“可以啊，x-80%x=9.6。”師：“你怎么列得那么快啊？那你當時為什么不用方程來解呢？”生：“沒想到用方程，感覺算式更簡單。”師：“那你現在能列算式來解這道問題嗎？”生：“可以，9.6÷（1-80%）。”師：“你覺得哪種方法簡單呢？”生：“算式簡單。”師：“可是你不覺得方程更容易理解嗎？”生：“可是現在會寫了還是覺得算式簡單。”[1]

原因探究：

原因一:算術方法根深蒂固，方程思想滲透不夠

其實在五年級上冊教學簡易方程時，很多老師就會發現怎么學生對解決問題就是不喜歡用方程呢，而且很多學生在要求用方程來解決問題時，都是先用算術方法把算式是寫出來，再把它寫成方程。例如：小明看一本書300頁，看了一些后，還剩下120頁，小明看了多少頁？學生們會把方程列成300-120=x，因為這就是他們平時做這道題時的正常思維方式。也是之前我們老師教給他們的解題方法，看了多少頁就等于=原來的-還剩下的。在之前的四年學習里面，我們老師都是教他們這樣的思維方法，但是突然到了五年級的這一天告訴學生們，你們要換一種方式去思考，那學生的接受度肯定是不夠高的，特別是對于學習比較薄弱的學生，已經根深蒂固的思維方式要改變，其實換句話說，就是我們老師之前對方程思想滲透的不夠。

原因二：找不到關系式

在輔導學生用方程解決問題時，我最常聽到的就是學生說：“老師，我找不到關系式。”甚至有學生會問：“老師，什么是等量關系啊？”在列方程的教學中，我們最感到束手無策的是學生的方程問題列不出來，其關鍵題中的數量關系無法梳理，等量關系建立不出來。如“故宮的面積是72萬平方米，比天安門廣場面積的2倍少16萬平方米。天安門廣場的面積是多少萬平方米？”。我們老師認為數量關系非常明確“天安門廣場的面積×2－16=72”，而有相當部分的學生就是找不到，往往是列出“2X=72-16”這樣的方程，老師通過畫圖、比較，一題會了，換一題又錯了，怎么辦？學生出現這樣的問題，一是教材的編寫有關，之前版本的教材對基本數量關系淡化，整套教材從一年級到六年級除了四則運算的四個基本關系式、圖形的周長面積和表面積體積的求積公式以外，只明確出現過“速度、時間、路程”“的三量關系，所以學生頭腦中的基本數量關系容量不足。二是學生從一到四年級接觸和學習的解決問題全部是算術思考方法，特別對“多加、少減”的方法根深蒂固，一時難以改變。這些問題存在，我們在列方程解決問題的教學時，如何去解決？

原因三：會列不會解

在我們現行的教材（新課程實驗人教版教材）中，在方程的學習過程中，沒有出現類似于“a-x=b，a-bx=c和a÷x=b，a÷bx=c”這樣的解方程，而在一些配套練習上，學生碰到了這類方程：如3.6－X＝0.7，很多的學生馬上做成：3.6－X＋3.6＝0.7+3.6，X=4.3．做完之后，學生又馬上發現不對．于是，很多人都說，老師，我們不會做。其中有一位學生卻說，這不是很簡單嘛，3.6減去一個數等于0.7，那么，這個數就等于3.6-0.7，所以應該這樣做，X＝3.6-0.7，X=2.9．經她一說，很多學生都說，對呀，我們怎么沒想到呀，這不是我們以前常填括號里的未知數嗎？但是這樣的問題，在教材上是沒有出現的．也許也正是為了避免目前無法用等式的基本性質來解的情況，所以認為“以加可以代減，以乘可以代除”，有意將這類方程回避了，包括在列方程解決問題時，例題所出現的數量關系和列出方程全部沒有呈現過。如果我們在解決方程時放棄了類似方程的學習，學習就對這類方程的求解方法存在缺陷，可是，當學生碰上了如3.6－X＝0.7的時候，我們又該怎么辦？是避而不談？在用方程解決簡單的問題時學生也經常會出現，我們有意規避，那么他們在解決問題時為了考慮列出來的方程是否會解，常常會有意識的去放棄，一定要去選擇會求解的方程的等量關系去思考，也就失去了一種解決問題的思考思路。如果需要將這類方程的求解方法教給學生，怎么教？，是引導學生將它改成：0.7＋X＝3.6？那么像上面這樣引導學生去求解，正是他們小學一年級到現在所已經具有的經驗解法，怕學生搞不清，很多的時候，我們阻止了學生這樣的解法。雖然與我們現在所提倡的解法有所違背，可是，這樣的解法是否可以用呢？如果我們用等式的性質去組織學習，還是以3.6－X＝0.7為例，其過程那是相當復雜：3.6－X+X＝0.7+X，0.7＋X＝3.6，0.7+X-0.7=3.6-0.7，X=2.9。這對于一些理解能力相對較弱的學生來說，無疑是更加增加了用方程解決問題的難度。同時，部分同學又與其他類型的方程出現混淆，無論什么題都會拿未知數消元。在現實教學中，我們有的老師是雙管齊下，用算術和等式性質兩種思路都教，但實際效果還是讓人不滿意。

方法與策略：

策略一：解題思路多樣化

在之前的《數學課程標準》（實驗稿）中，改變了小學二十幾年來一直用算術思路解方程的要求，而改變為用代數方法解方程。《數學課程標準》（實驗稿）明確提出了“理解等式的性質，會用等式性質解簡單的方程，用方程解決簡單的實際問題。”但是小學更多的題目使用算術法解決，利用四則運算的護你關系解方程，學生更容易接受和掌握，而且不存在解方程部分題型不能解或不會解的情況。然而在《數學課程標準》（實驗稿）中大力倡導“用等式的性質”解方程，摒棄用“數學關系”的方法解方程，顯然不符合小學生的實際。所以《數學課程標準》（2011版）中增加“結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示”。將“理解等式的性質”，改為“了解等式的性質”；將“會用等式的性質解簡單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。改為“能解簡單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。使一些目標的表述更加準確和完整，新教材更能從學生的實際學情出發，讓教師在教學方程時也不再受方法的束縛。小學方程教學，算術思路必須牢固掌握，代數思路也必須滲透，兩者結合。通過對比兩種方法，使學生發現兩種方法之間的內在聯系，從而實現對算式思想解方程的更深認知，感受算術和代數的緊密聯系，同時還有效的借助代數思路，強化學生對算式思路解方程的認知，幫助學生解方程要死記硬背的難關。

策略二:數量關系的滲透

方程是什么？它是刻畫現實世界數量關系的一種最基本的數學模型。解方程其實就是建模的過程，找數量關系就是建立模型的關鍵。而數量關系在之前的教材中似乎已經被淡化，但是新教材又把數量關系拉回到它原來重要的位置。但是許多教師會忽略數量關系的重要性，曾經聽過一位老師的一堂三年級下冊連乘問題的課，課上的例題是這樣的：超市一周賣出5箱保溫壺，每箱保溫壺12瓶，每個保溫壺45元，超市一周一共賣出多少保溫壺？學生列式：12x5x45，然后老師問：你是先算什么？生：我先算一共賣出了多少個保溫壺？師：為什么是12x5呢？生：因為一箱12個，有5個一箱，所以乘以5。師：然后你再算什么？生：我用保溫瓶的總數乘以一個保溫瓶的價格求出一共賣出多少元。其實在這里就涉及到了兩個數量關系式：份數x每份數=總數，數量x單價=總價，這些關系早在學生二年級的時候都已經開始接觸，學生的回答已經非常好了，他已經找到了數據之間的關系，可是在這時候課上老師就沒有點出數量關系式，我就在想：為什么老師不愿意在這里把數量關系式點出來呢？學生不是已經說出來了，如果再總結下，是不是就能把這些關系在這節課做一個滲透呢？于是我就問上課的老師，我記得老師是這樣回答的：三年級的學生有必要讓他們知道數量關系嗎？可能這是很多低年級或是中段老師的想法，正因為如此許多五六年級的學生可能知道怎么解題，也不會說數量關系。我們的學生很早開始就在接觸等量關系，比如被減數-減數=差，這就是等量關系，只是開始學生不知道何為等量關系。既然學生知道那為何我們得教師不能早一點滲透等量關系的思想呢?比如單價x數量=總價，對于低年級的學生其實他們也已經擁有了購買東西的經驗，所以他們對這樣的數量關系已經十分了解，只是我們老師總是害怕出示這樣的公式給他們。當學生在接觸到這類問題時，教師就可以提出這樣的數量關系式，幫助他們建立單價、數量、總價的模型關系。

策略三：體現方程的優勢

學生不喜歡用方程還有很大一部分原因是找不到方程的優勢。其實在小學階段讓學生體會方程的優勢確實比較困難。因為我們例題都是一些用算術法也能解決的問題，特別是逆向思維比較好的學生，對方程那是相當得嗤之以鼻。如何體現方程的優勢？我想書上的例題只能讓學生學會如何列方程，要體現方程的優勢一定要做課外的拓展，我們可以利用對比分析的方法來向學生說明。例如可以用這樣的一組題目來進行對比與分析：

（1） 甲數比乙數的1.5倍少2.5。甲數是6.5，乙數是多少?

（2） 甲數比乙數的1.5倍少2.5。乙數是6.5，甲數是多少?

我們可以先讓學生用算術方法來解這組題目，待學生完成后再去統計學生作業的對錯情況。因為這是將一正一反兩道相關類型的題目擺在一起，互相受干擾，學生用算術方法解題，往往會出現這樣兩種錯誤：（1）學生未分清一倍數是否已知，結果將兩道題弄混淆；這個問題，我們暫且不討論。（2）已經判明“一倍數”是否已知，但在解第（1）題時出現大量的錯誤。這時，教師可以將學生在用算術方法解第（1）題時可能出現的算式都例舉出來：1、6.5×1.5－2.5；2、6.5÷1.5－2.5；3、6.5×1.5＋2.5；4、6.5÷1.5＋2.5；5、（6.5－2.5）×1.5；6、（6.5－2.5）÷2.5；7、（6.5＋2.5）×1.5；8、（6.5＋2.5）÷1.5。這里一共會出現8個算式，但其中的7個都是錯誤的，只有第8個是正確的。這就說明用算術方法解這類題目時，出錯的概率非常大。反之，如果用方程來解，就不會出現這樣的情況了。

如果用方程解這一類題目，我們只需要列出一個等量關系式：甲 = 乙×1.5－2.5。然后再去判斷“一倍數”是否已知，如果“一倍數”是已知的，如第（2）題，那么就直接用上述式子計算：6.5×1.5－2.5 = 7.25，就得到最后的正確得數了；而如果“一倍數”是未知的，如第（1）題，那么就利用上述式子列出方程：1.5X－2.5= 6.5，然后解這個方程，得到X = 6，也就得到正確的答案了。如此看來，在用方程解這兩類題目的時候，解題思路是完全一致的，列出的算式或方程也是一樣的，只不過是一個是把問題擺在等式的右邊，而另一個將問題（未知數X）擺在了等式的左邊而已。這樣，學生只要將這一個數量關系式理解透了，那么解答這一類題目就駕輕就熟，輕而易舉了。而這正是用方程解題的優勢之所在。