關于數學思維顯性化的教學實踐探索

□于 蕾

在傳統教學模式中，知識加工和問題解決的思考過程往往不可見，教師和學生更多關注答案，而忽視答案的生成過程。然而，學生的思維發展并不來源于答案的累積，而來自于生成。答案的累積只是增加學生的感性答題經驗，而不能提高學生的理性解題能力，所以當題目或題型一變，學生便無法應對，因為感性經驗對不上號。要提高教學效能，教師就必須將強調答案轉變為強調答案的生成過程，變依靠感性經驗答題為運用理性思考解題，把看不見的思維過程和方法清晰地呈現出來，以便更好地理解、記憶和運用。[1]“思維顯性化”在數學問題解決過程中將原本不可見的思維路徑及思維方法通過各種直觀的方式呈現出來。針對初中數學教學工作，“思維顯性化”有以下兩方面意義：一是從形象思維到抽象思維的過渡。初中生在解決問題的過程中將自己的思考用語言講述出來，難免會描述不清楚。通過選擇自己擅長的方式形象地表述所思所想，把自己的思維過程層層揭示和展現出來，這對學生的理性思維發展會起到事半功倍的效果。二是便于分享和交流。抽象的思維過程既不易用語言表達，也不易被他人所理解。通過直觀的方式將原本不可見的思維路徑和思維方法呈現出來，便于在學生間進行分享和交流。

一、概念界定

1.數學思維

解釋1：思維是人腦對客觀現實的概括和間接反映，是人腦的基本活動形式，是人的一種高級的心理活動形式。數學思維就是用數學思考問題和解決問題的思維活動形式，也就是人們通常所指的數學思維能力，即能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力。

解釋2：數學思維是用數學的抽象模型 （比如代數，量化等）來思考問題的思維模式。比如形象思維（感性認識強）、抽象思維 （邏輯能力強）、逆向思維（概念能力強）、發散思維 （想象能力強）等。

解釋3：數學思維是對數學對象 （空間形式、數量關系、結構關系等）的本質屬性和內部規律的間接反映，并按一般思維規律認識數學內容的理性活動。

解釋4：數學思維是以認識數學對象為任務，以數和形為思維對象，以數學語言和符號為思維載體，并以認識和發現數學規律為目的的一種思維。

2.數學思維能力。《全日制義務教育數學課程標準》 《普通高中數學課程標準》中明確指出，數學思維能力主要包括四個方面的內容：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。

3.數學思維顯性化。思維過程顯性化是在數學問題解決過程中，將原本不可見的思維路徑及思維方法通過各種直觀的方式呈現出來。

二、“思維顯性化”難以實現的原因分析

數學思維能力需要學生能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力。一般來說，數學思維能力強的學生，基本體現在聯想力和數字敏感度上。[2]但對于初中生來說，難以將不可見的思維路徑及思維方法顯性化。

1.教師方面

（1）受中考指揮棒影響。以往的數學考試中，題目的解答結果均具有確定性，因此，在數學教學中只重結論，不重過程，用結論去替代過程或者只重應用，不重形成，甚至有時候教師把新課匆匆帶過，省出時間來練習或復習。但從2015年開始，北京市數學中考試題中開始出現只回答解題思路，不需要完整的解答過程的題目，并且這樣的開放性問題正在逐年增加。

（2）短時間看不到成果。在教學中要將思維過程直觀展現出來，方便大家溝通，需要大量的時間進行各種方式的嘗試，需要在課上或課下進行反復的琢磨、溝通交流、修改補充、調整完善，即便這樣也可能在一段時間內不能實現最初設定的目標，沒有產生較好的效果，因此容易在嘗試過程中半途而廢。

2.學生方面

（1）思維惰性。有些學生在遇到難題時懶于動腦，往往會選擇等老師講解或者等以后再解決，久而久之，形成了思維惰性，題目稍微變化就無從下手。

（2）思維慣性。思維的慣性常伴隨著思維的惰性而存在。學生在解數學題時，看見術語，便羅列公式，生搬硬套；看見數據，便代入演算，拼湊解答等。觀察只停滯在感知表象中，對關鍵信息感知把握不準，思維指向性模糊，即使撞上關鍵信息，也不能加工形成有價值的反饋信息，致使解題思路受阻。

三、促進學生數學思維顯性化的教學實踐

圖是最直觀的語言，易讀、易懂、易記而且記得牢。因此，實現 “思維顯性化”的最有效方式便是用“圖”的形式把“思維”呈現出來。在教學中實現“思維顯性化”的手段主要包括：知識網絡圖、解決一類問題的模型圖、分析流程圖，等等。[3]

1.借助知識網絡圖促進知識邏輯層次的顯性化。數學知識不是孤立存在的，知識間存在著千絲萬縷的聯系，諸多知識構成一個嚴謹的知識系統，通過知識網絡圖的形式能夠顯性化知識間的邏輯層次，幫助學生有序建立知識網絡。初中代數知識包括數、式、方程和函數四個部分，涉及這四個部分的內容分散在教材中的十三個章節。借助知識網絡圖的形式將諸多概念之間的邏輯層次顯性化，可以給學生大致呈現出整個初中的代數體系。在建立知識網絡圖的過程中，借助知識網絡圖的直觀性，把知識點之間的聯系層層呈現出來，并在每一次建立聯系的過程中，通過網絡圖直觀地看到之所以能建立聯系的本質原因是概念之間存在聯系。學生通過老師展示的網絡圖，在深入理解概念的同時，又可以根據自己的實際需要靈活梳理自己的網絡圖，從而對知識的認識更加理性。這種呈現方式將 “看不見的”的概念之間的聯系清晰地呈現出來，使學生在解決綜合問題時能靈活運用所學的知識解決問題。通過這種方式將頭腦中有共性聯系的概念呈現出來，可以幫助學生對概念的理解從感性認識上升到理性認識，實現知識邏輯層次的顯性化。

2.借助模型圖促進解題規律的顯性化。數學概念的理解最終體現在一道道數學問題上，如果只是簡單的機械重復，那學生就不是在知識的海洋中暢快遨游，而是在知識的沼澤地里艱難跋涉。因此，在知識網絡圖的基礎上繼續對相關的問題精加工，建立解決一類問題的思考習慣，最終使得解題規律模型化。如學生解決旋轉類的幾何綜合問題和求代數式值問題時，就可以結合知識網絡圖和對應的習題整理出解題規律。

3.借助分析流程圖促進有序推理的顯性化。提到推理，往往就會想到幾何證明題，其實不僅代數知識的學習用到推理，生活中處處都有推理。可在實際課堂活動中，學生經常無法表述清楚自己的思路。在教學中只要涉及分析，就盡可能地引導學生用流程圖的方式將抽象的思路顯性化。運用流程圖展示思路的核心是建立已知條件與未知目標相關的模型，這種模型的核心是運用數學定理、公式和法則把變量之間以及變量同目標之間的關系用數學關系式層層表達出來。將數學概念、定理、公式、法則用圖的形式直接表述，變量之間以及變量同目標之間的關系就可以用流程圖直觀展示出來。

課堂教學思維顯性化的關鍵是有沒有思維含量？是否做到了以知識為載體來引發學生深層次地思考？思維顯性化側重于知識表征背后的思維規律、思考方法、思考路徑，在顯性化的過程中強調對思考方法和思考路徑的梳理和呈現，借助圖示方法及技術對知識進行深加工為效能手段，以學生為主體，教師為主導，師生及學生合作探究為課堂形式，最終水到渠成地實現學生對數學知識的理解。