淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

景宗穎

（山東省萊蕪市第一中學(xué)，山東 萊蕪）

函數(shù)思想對高中生解題起到十分重要的作用，它是幫助高中生解題的有效工具。但在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生普遍缺乏對函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)，甚至將其與函數(shù)知識(shí)相混淆，最終導(dǎo)致解題思維受到局限。對此，學(xué)生應(yīng)當(dāng)提高對函數(shù)思想的重視，加大對函數(shù)思想的學(xué)習(xí)力度，以此來更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)思想。

一、函數(shù)思想相關(guān)內(nèi)容綜述

（一）概念

函數(shù)思想的概念可以從三個(gè)方面進(jìn)行了解，第一點(diǎn)是指通過科學(xué)利用函數(shù)相關(guān)性質(zhì)來解決函數(shù)問題；第二點(diǎn)是通過轉(zhuǎn)換思想來分析與解決函數(shù)變量之間的關(guān)系問題；第三點(diǎn)是對一些高中數(shù)學(xué)中看似并非函數(shù)的問題，可以通過一系列思維的轉(zhuǎn)化最終變成函數(shù)問題，以此實(shí)現(xiàn)對問題的變向分析處理。從整體上講，函數(shù)思想實(shí)際上就是利用函數(shù)知識(shí)與性質(zhì)，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的一種思維。

函數(shù)思想是現(xiàn)代高中十分重要的解題方法，它甚至在大學(xué)都有十分廣泛的應(yīng)用，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯就曾指出，函數(shù)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它始終貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中。因此，當(dāng)人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地了解函數(shù)思想，以此來提高自身的數(shù)學(xué)建模能力，達(dá)到更好的數(shù)學(xué)解題效果。

（二）性質(zhì)

人們經(jīng)過漫長的摸索與研究后，最終形成了一種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題思維，這便是函數(shù)思想的形成過程，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，數(shù)學(xué)家在研究過程中發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)點(diǎn)擁有共同屬性，因此在經(jīng)過不斷的歸納總結(jié)之后，利用最簡潔的公式將這種共同屬性表達(dá)出來，即為“已知+未知+規(guī)定思想”。“已知”為已經(jīng)存在的客觀條件，即定量；“未知”為存在但未被證實(shí)的客觀條件，即變量，而“規(guī)定思想”則是指人們在運(yùn)算過程中掌握的事物特定規(guī)律，這種規(guī)律能夠幫助人類快速地解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而達(dá)到更加良好的解題效果。

二、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）在不等式中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，它涉及正負(fù)區(qū)間、單調(diào)性的問題。在沒有正確解題方法的引導(dǎo)下，我們想要進(jìn)行不等式證明需要花費(fèi)大量的時(shí)間，且步驟繁瑣，利用函數(shù)思想來解決不等式問題，可以幫助我們快速地明確解題方向。

例如，b2+ab+3＞4b+a恒成立，且 a的取值范圍為 0≤a≤4，求b的取值范圍。該道題中a的取值范圍已確定，若想求得b的取值范圍，不妨將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程式，即y=（b-1）a+b2-4b+3，這就相當(dāng)于將原題中的數(shù)值全部都轉(zhuǎn)移到一邊，并利用y來代替這些數(shù)值間的關(guān)系，最終得出y＞0恒成立的條件，在此基礎(chǔ)上將a=0與a=4兩個(gè)值帶入，我們就可以輕易地求得b的取值范圍。

（二）在高中數(shù)學(xué)方程中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)體系當(dāng)中，函數(shù)與方程之間存在著密不可分的關(guān)系，因此利用函數(shù)進(jìn)行方程求解是一種十分可行的方法。我們在解題前，首先要利用函數(shù)思想看待問題，分析方程中各變量之間的關(guān)系，使難題能夠被順利解決。

例如，在方程（x-m）（x-n）=2中，方程擁有兩個(gè)根，兩個(gè)根分別為 a、b，且滿足 a＜b，m＜n 的條件，求 a、b、m、n 四個(gè)實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系。初看這道題時(shí)，我們可能會(huì)被題中的各種字母弄混，此時(shí)，我們可以通過利用函數(shù)思想，將原方程設(shè)置成為函數(shù)方程式f（x）=（x-m）（x-n）-2 以及 g（x）=（x-m）（x-n），在此基礎(chǔ)上進(jìn)行解答就會(huì)容易很多。

（三）在高中數(shù)學(xué)數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問題，我們在解題的過程中經(jīng)常需要花費(fèi)大量的時(shí)間，為了節(jié)省時(shí)間，有些同學(xué)甚至將數(shù)列間的規(guī)律轉(zhuǎn)化為公式背誦，這雖然在一定程度上保證了解題的正確性，卻無法形成數(shù)學(xué)解題思維，也缺乏對題目的靈活判斷。對此，我們可以將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)列“通過自變量得到離散數(shù)值”的解題思想，達(dá)到更好的解題效果。

例如，在等差數(shù)列｛an｝中，前 n 項(xiàng)和 Sn=An2+Bn，a1＞0 公差 d＜0，求前n項(xiàng)和的最大值。我們可以把前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，通過二次函數(shù)求最大值來求數(shù)列的最值。如此一來，等差數(shù)列問題就被轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)問題，使題目的內(nèi)容更加具象化，更方便學(xué)生解答。

（四）函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)實(shí)際解題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)問題具有抽象性特征，想要解好綜合性問題，我們不僅需要靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)公式，還要重視對函數(shù)思想的運(yùn)用。例如，在路程問題中，可以將總路程設(shè)為y，速度或時(shí)間的變化設(shè)為x，構(gòu)建起函數(shù)模型，使解題的過程更加簡單，也使解題的正確率更加有保障。

綜上所述，函數(shù)思想在現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)中擁有十分廣泛的應(yīng)用，我們在解題的過程中應(yīng)當(dāng)樹立起函數(shù)解題思想，將各種抽象的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題，掌握各種變量之間的關(guān)系，達(dá)到良好的解題效果。我們應(yīng)當(dāng)不斷轉(zhuǎn)換思想，積極參與到函數(shù)思想的研究與應(yīng)用過程中，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的快速提升。