穩(wěn)健Shewhart控制圖的構(gòu)建及應(yīng)用

王志堅(jiān)，鄭健松

（1.華南師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，廣州510631；2.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510320）

0 引言

控制圖是有效偵測(cè)變異的方法之一。常規(guī)控制圖因其簡(jiǎn)單實(shí)用且檢出能力較強(qiáng)，故一開(kāi)始就被用于工業(yè)生產(chǎn)中。而今，在眾多學(xué)科領(lǐng)域都會(huì)使用控制圖方法進(jìn)行系統(tǒng)控制，但使用最多的還是休哈特常規(guī)控制圖。然而，構(gòu)造常規(guī)控制圖的統(tǒng)計(jì)量大都缺乏抗干擾性，是敏感的和不穩(wěn)健的。常規(guī)休哈特控制圖由上控制限(UCL)、下控制限(LCL)和中心線(CL)和時(shí)序數(shù)據(jù)組成。其控制限的表達(dá)式為（通常取控制參數(shù)k=3），其中樣本均值?和標(biāo)準(zhǔn)差?顯然是不穩(wěn)健。因此，異常值的存在通常會(huì)擴(kuò)大控制限的間距,同時(shí)改變控制中心線的位置，導(dǎo)致控制圖漏發(fā)或虛發(fā)報(bào)警，從而在產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)控過(guò)程中會(huì)嚴(yán)重干擾人們對(duì)產(chǎn)品合格率的判斷。故在大數(shù)據(jù)時(shí)代，有必要對(duì)傳統(tǒng)控制圖進(jìn)行穩(wěn)健改進(jìn)。

通過(guò)梳理文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)過(guò)去學(xué)者們多是從不同角度給出了控制限的穩(wěn)健估計(jì)，但大多沒(méi)有考慮控制中心的穩(wěn)健性；在穩(wěn)健估計(jì)方法上，學(xué)者們也鮮有從權(quán)函數(shù)的視角來(lái)同時(shí)研究控制中心及控制限的穩(wěn)健性。鑒于此，本文嘗試分別采用均值、標(biāo)準(zhǔn)差的傳統(tǒng)穩(wěn)健估計(jì)量不同組合及基于Hampel權(quán)函數(shù)的加權(quán)三均值及加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)建出幾種穩(wěn)健休哈特控制圖，并比較其監(jiān)控效果。

1 原理與方法

1.1 常規(guī)控制圖及其不穩(wěn)健性

常規(guī)休哈特控制圖是針對(duì)隨機(jī)過(guò)程yt=μ+et來(lái)進(jìn)行監(jiān)控，其中et～N(0，σ2),μ=E(yt)。其對(duì)應(yīng)的中心線(CL)、上控制限(UCL)、下控制限(LCL)通常表示如下：

基本原理是利用正態(tài)分布的3σ原則。下面通過(guò)模擬來(lái)說(shuō)明離群值對(duì)控制限的影響，隨機(jī)模擬產(chǎn)生50個(gè)均值?=0，標(biāo)準(zhǔn)差?=1的隨機(jī)數(shù)，構(gòu)造一個(gè)值為3.65的離群值（注：這里只需構(gòu)造一個(gè)超出常規(guī)控制圖上限或下限的值即可作為離群值，下同）。下面分別用不含離群值和含有離群值的數(shù)據(jù)來(lái)分別構(gòu)建控制圖，如圖1所示：

圖1 離群值對(duì)常規(guī)控制圖的影響

圖1是不存在離群值和存在離群值的常規(guī)過(guò)程控制圖，圖中“虛線”表示不存在離群值的控制限，“實(shí)線”表示含有離群值的控制限。顯然，從圖中可以看出，控制圖受到了離群值影響，離群值拉大了控制限的間距，使得異常情況沒(méi)有被檢測(cè)到。由此可見(jiàn)，離群值的存在導(dǎo)致了控制圖漏發(fā)報(bào)警。

1.2 常規(guī)控制圖穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建及模擬比較

本文提出采用Huber的M估計(jì)類(lèi)方法來(lái)構(gòu)建穩(wěn)健控制圖,該方法的關(guān)鍵在于選擇合適的權(quán)函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)。過(guò)去學(xué)者們通常傾向于先對(duì)序列建立一個(gè)模型，由模型得出殘差，殘差越大權(quán)重越小，權(quán)重取值只有0或1。給定一個(gè)閾值，當(dāng)殘差值超過(guò)閾值就定義該原始數(shù)據(jù)權(quán)重為0，當(dāng)殘差值不超過(guò)閾值就定義該原始數(shù)據(jù)權(quán)重為1，顯然該方法能夠降低或減少異常值對(duì)控制限的影響，但也存在不足之處。主要表現(xiàn)在：其一，權(quán)重只取0或1會(huì)損失原樣本大部分信息；其二，模型的建立是依賴于原始數(shù)據(jù)，用含有異常值的原始數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，顯然該模型是不可靠的，用不可靠的模型得出的殘差，再基于殘差給出權(quán)重顯然是不科學(xué)的。為克服以上不足，本文借鑒Huber的M估計(jì)理論，選取Hampel權(quán)函數(shù)對(duì)原序列進(jìn)行變換，再用變換后的序列來(lái)構(gòu)建控制中心和控制限。Hampel權(quán)函數(shù)的表達(dá)式如下：

一般取值，a=1.5，b=3.0，c=4.5；顯然Hampel權(quán)函數(shù)對(duì)權(quán)重進(jìn)一步細(xì)化，把權(quán)重分為4部分，殘差越大權(quán)重越小，殘差越小權(quán)重越大，從而削弱異常值對(duì)控制限的影響。前文指出，三均值、中位數(shù)、切尾均值和縮尾均值等是常用的均值穩(wěn)健估計(jì)量；中位絕對(duì)離差和平均絕對(duì)離差是常用的標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)健估計(jì)量。下面對(duì)含離群值的獨(dú)立同分布序列用不同組合的穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量對(duì)常規(guī)控制圖控制中心及控制限進(jìn)行改進(jìn)并進(jìn)行模擬比較。

隨機(jī)產(chǎn)生50個(gè)均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在此，本文只考察當(dāng)序列中含有一個(gè)離群值時(shí)對(duì)控制中心及控制限的影響，全文用R語(yǔ)言進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。為構(gòu)造一個(gè)離群值，在50個(gè)隨機(jī)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)再用4去替換之，即用4作序列離群值。需要說(shuō)明的是，本文所構(gòu)造控制圖中所有的“虛線”表示無(wú)離群值的常規(guī)控制圖，“實(shí)線”表示有離群值的穩(wěn)健控制圖。

圖2 常規(guī)控制圖與基于三均值及標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)健控制圖

圖2中的“實(shí)線”是均值采用三均值、標(biāo)準(zhǔn)差用普通標(biāo)準(zhǔn)差得到的穩(wěn)健控制圖，圖中顯示穩(wěn)健控制圖能夠?qū)﹄x群值發(fā)出警報(bào)，并且沒(méi)有出現(xiàn)漏發(fā)、虛發(fā)報(bào)警的現(xiàn)象，但離群值的存在拉大了控制限間距，使得穩(wěn)健控制限與常規(guī)控制限相距較遠(yuǎn)，說(shuō)明該穩(wěn)健控制圖的穩(wěn)健改進(jìn)效果欠佳。圖3中穩(wěn)健控制圖中心線及上下限是均值采用中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差采用平均絕對(duì)離差得到的，圖中常規(guī)控制圖與穩(wěn)健控制圖控制中心線幾乎重合，但穩(wěn)健控制限間距較常規(guī)控制限間距要小，說(shuō)明所選的穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量過(guò)于穩(wěn)健而導(dǎo)致把穩(wěn)健控制限拉的過(guò)緊，使得有一個(gè)正常點(diǎn)剛好“踩線”，被發(fā)出虛假警報(bào)。因此，該穩(wěn)健控制圖的穩(wěn)健改進(jìn)是不可靠的。

圖3 常規(guī)控制圖與基于中位數(shù)及平均絕對(duì)離的穩(wěn)健控制圖

圖4 常規(guī)控制圖與基于截尾均值及平均絕對(duì)離差的穩(wěn)健控制圖

圖5 常規(guī)控制圖與含基于縮尾均值及中位絕對(duì)離差的穩(wěn)健控制圖

圖4中穩(wěn)健控制圖中心線及上、下限是均值采用截尾均值，標(biāo)準(zhǔn)差采用平均絕對(duì)離差得到，圖中常規(guī)控制圖與穩(wěn)健控制圖控制中心線幾乎重合，但控制上、下限卻相差很大，穩(wěn)健控制限較常規(guī)控制限間距更小，使得從圖中可以看出至少有5個(gè)點(diǎn)被發(fā)出虛假警報(bào)。因此，該穩(wěn)健控制圖的穩(wěn)健改進(jìn)效果不理想。圖5穩(wěn)健控制圖中心線及上、下限是均值采用縮尾均值，標(biāo)準(zhǔn)差采用中位絕對(duì)離差得到，圖中常規(guī)控制圖與穩(wěn)健控制圖控制中心線幾乎重合，但控制上、下限卻相差很大，說(shuō)明所選的穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量過(guò)于穩(wěn)健而導(dǎo)致把控制限拉的過(guò)緊，使得至少有7個(gè)點(diǎn)被發(fā)出虛假警報(bào)。因此，該穩(wěn)健控制圖的穩(wěn)健改進(jìn)效果不理想。

圖6 常規(guī)控制圖與基于加權(quán)三均值及加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)健控制圖

圖6將Hample函數(shù)加權(quán)后的序列用三均值法求得均值，得到控制中心的值，得到的序列再對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差用傳統(tǒng)方法構(gòu)建出穩(wěn)健控制圖。從圖中看出，常規(guī)控制圖與穩(wěn)健控制圖的中心限及控制上下限基本是重合的。并且穩(wěn)健控制圖沒(méi)有出現(xiàn)虛假報(bào)警及漏報(bào)警的現(xiàn)象，說(shuō)明穩(wěn)健改進(jìn)效果很好。將各穩(wěn)健估計(jì)方法對(duì)控制圖的中心線及控制限改進(jìn)的結(jié)果與不含離群值的常規(guī)控制圖的中心及控制限進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。

表1 各穩(wěn)健估計(jì)方法對(duì)控制中心及控制限估計(jì)結(jié)果對(duì)比

從表1中也可以看出，最接近不含離群值常規(guī)控制圖的中心及控制限穩(wěn)健估計(jì)方法是本文提出的加權(quán)的三均值法及加權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差法，相差最大的是縮尾均值及中位絕對(duì)離差法。因此對(duì)于含有離群值的獨(dú)立同分布序列穩(wěn)健控制圖的構(gòu)造，本文提出的加權(quán)穩(wěn)健估計(jì)方法最優(yōu)。故在構(gòu)造穩(wěn)健控制圖過(guò)程中對(duì)于穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量的選取須持謹(jǐn)慎態(tài)度。

2 實(shí)證分析

下面比較幾種穩(wěn)健控制圖對(duì)離群值的監(jiān)控效果。本文以2016年6月13日至2016年11月17日的美國(guó)國(guó)際集團(tuán)(AIG)的收益率數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)，共有112個(gè)。為了解數(shù)據(jù)的分布狀況，將該數(shù)據(jù)的收盤(pán)價(jià)圖、收益率圖、收益率Q-Q圖和直方圖進(jìn)行探索性分析，如圖7所示：

圖7 AIG數(shù)據(jù)的探索性數(shù)據(jù)分析圖

從圖7左上圖可以看出，右上角收益率圖很明顯可以看出有多個(gè)離群值；左下角和右下角圖均說(shuō)明收益率序列已偏離正態(tài)分布。同時(shí)收益率序列的正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果為p-value=7.889e-10，即p-value非常小，說(shuō)明收益率序列不服從正態(tài)分布。因此可以推測(cè)序列中存在異常值。

本文用時(shí)間序列異常值穩(wěn)健檢測(cè)方法對(duì)AIG股票對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行離群值檢測(cè)，共檢測(cè)到6個(gè)離群值，其中革新型離群值（IO）3個(gè)，可加性離群值（AO）3個(gè)。下面對(duì)AIG股票對(duì)數(shù)收益率分別采用不同的穩(wěn)健控制限方法構(gòu)造穩(wěn)健控制圖來(lái)對(duì)收益率序列進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

圖8 常規(guī)控制圖與基于加權(quán)三均值及加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)健控制圖

圖8是采用本文提出的加權(quán)三均值及加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造控制限的穩(wěn)健控制圖，從圖中可以看出穩(wěn)健控制中心與常規(guī)控制中心基本重合，而穩(wěn)健控制限較常規(guī)控制限間距要小，穩(wěn)健控制圖檢測(cè)到6個(gè)離群值，而常規(guī)控制圖有4個(gè)，很顯然常規(guī)控制圖受到離群值影響，拉大了控制限間距，出現(xiàn)漏報(bào)警。

圖9 基于三均值及標(biāo)準(zhǔn)差的穩(wěn)健控制圖

圖10 基于中位數(shù)及平均絕對(duì)離差穩(wěn)健控制圖

圖9是采用三均值及標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造控制限的穩(wěn)健控制圖，從圖中可以看出穩(wěn)健控制中心與常規(guī)控制中心基本重合，而穩(wěn)健控制限較常規(guī)控制限間距要大，穩(wěn)健控制圖檢測(cè)到2個(gè)離群值。圖10是采用中位數(shù)及平均絕對(duì)離差構(gòu)造控制限的穩(wěn)健控制圖，從圖中可以看出穩(wěn)健控制中心與常規(guī)控制中心基本重合，而穩(wěn)健控制限較常規(guī)控制限間距要小，穩(wěn)健控制圖檢測(cè)到8個(gè)離群值。

圖11（見(jiàn)下頁(yè)）是采用截尾均值及平均絕對(duì)離差構(gòu)造控制限的穩(wěn)健控制圖，從圖中可以看出穩(wěn)健控制中心與常規(guī)控制中心基本重合，而穩(wěn)健控制限較常規(guī)控制限間距要小，穩(wěn)健控制圖檢測(cè)到8個(gè)離群值。圖12（見(jiàn)下頁(yè)）是采用縮尾均值及中位絕對(duì)離差構(gòu)造控制限的穩(wěn)健控制圖，從圖中可以看出穩(wěn)健控制中心與常規(guī)控制中心基本重合，而穩(wěn)健控制限較常規(guī)控制限間距要小很多，使得穩(wěn)健控制圖檢測(cè)到16個(gè)離群值。下面將各穩(wěn)健控制圖與常規(guī)控制圖對(duì)離群值檢測(cè)結(jié)果列于表2，由于控制圖中會(huì)存在漏報(bào)警及虛報(bào)警現(xiàn)象，在此，本文對(duì)控制圖中離群值檢測(cè)的報(bào)警正確率定義如下：

圖11 基于截尾均值及平均絕對(duì)離差的穩(wěn)健控制圖

圖12 基于縮尾均值及中位絕對(duì)離差穩(wěn)健控制圖

用報(bào)警正確率來(lái)度量個(gè)控制圖的監(jiān)控效果。

表2 各穩(wěn)健控制圖與常規(guī)控制圖對(duì)離群值檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

從表2可看出，用本文提出的加權(quán)三均值及加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造的穩(wěn)健控制圖對(duì)離群值的監(jiān)控效果最優(yōu)，報(bào)警正確率為100%；其次為中位數(shù)、截尾均值分別與平均絕對(duì)離差構(gòu)造的穩(wěn)健控制圖，報(bào)警正確率均為75%；最后的是三均值與標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造的穩(wěn)健控制圖，報(bào)警正確率只有16.7%，顯然這是由于該穩(wěn)健控制圖中只有位置參數(shù)是穩(wěn)健估計(jì)量，而尺度參數(shù)是不穩(wěn)健引起的。

3 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)常規(guī)休哈特控制圖中控制限的不穩(wěn)健性，本文首先從控制圖的構(gòu)造原理及一個(gè)模擬例子分析了傳統(tǒng)控制圖的不穩(wěn)健性；其次隨機(jī)產(chǎn)生50個(gè)均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，并構(gòu)造一個(gè)離群值，以中位數(shù)、截尾均值、縮尾均值、三均值及本文提出的權(quán)函數(shù)三均值作為位置參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)量，以平均絕對(duì)離差、中位絕對(duì)離差及本文提出的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差作為尺度參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)量來(lái)構(gòu)造穩(wěn)健控制限，從而構(gòu)建出幾種不同的穩(wěn)健控制圖，模擬和實(shí)證研究均表明本文提出的基于Hampel權(quán)函數(shù)的加權(quán)三均值及加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造的穩(wěn)健控制圖監(jiān)控效果優(yōu)于傳統(tǒng)位置、尺度穩(wěn)健估計(jì)量構(gòu)建的控制圖。