模糊軟集決策方法研究綜述

李長儀，管建和，劉婷婷

（1.中國地質大學（北京）a.人文經管學院；b.信息工程學院，北京 100083；2.山東理工大學 商學院，山東 淄博 255000）

0 引言

軟集理論由Molodtsov于1999年提出[1]，它為集合理論的研究開創了全新的參數化視角，從而受到領域內學者的廣泛關注[2-8]。尤其是當Maji將模糊集理論擴展至軟集范疇，確立模糊軟集概念以來[9]，關于模糊軟集理論及其應用的研究迅速成為該領域內的熱點。諸如區間值模糊軟集、梯形模糊軟集、直覺模糊軟集、猶豫模糊軟集及其交叉結合等一系列模糊集與軟集的融合性研究紛紛涌現[10-17]。

當軟集理論引入決策領域后，其特有的參數化視角對當前的決策理論體系形成了有效的補充，伴隨其豐富和發展也產生了一系列有價值的決策模型、方法和技術。本文在介紹經典軟集決策理論的基礎上，對模糊軟集決策中的各類典型方法進行綜述，探析相應模型、策略的理論意義、架構特點與決策局限，展望模糊軟集決策領域的研究趨勢。

1 理論基礎

1.1 軟集與模糊軟集

假設U為研究對象的初始論域，EU（簡記為E，稱為參數空間）是與U中對象有關的所有參數的集合。這里的參數是描述對象性質、特征、特點的指標（在決策問題中，通常稱其為屬性）。于是，(U，E)又被稱為一個軟論域。

令P（U）為論域U的冪集，而A?E為參數集，則軟集可定義如下：

定義1[1]：二元組S=(F，A)稱為論域U上的一個軟集，其中，F:A→P（U）是一個集值映射，稱為軟集的近似函數。取參數e∈A，則F(e)?U。

因此，軟集不是對論域中所有對象全部信息的全面細致刻畫，而是以參數的方式、從多方位的角度對研究對象的分類解讀。基于實際決策問題中所掌握對象信息的有限性及審視角度的多樣性，以參數化的方式進行對象刻畫是符合決策常識的。

在此基礎上，Maji等將模糊集理論與軟集相結合，于是便產生了如下的模糊軟集定義。

令F（U）為給定論域U上的全體模糊子集，E為參數集，且A?E。則：

定義2[9]：二元組F=(F?，A)稱為論域U上的模糊軟集，其中，F?:A→F（U）是取值為模糊集的映射，稱為模糊軟集的近似函數。

與軟集類似，取參數e∈A，則F?(e)∈F(U)稱為e-模糊近似集。

由此，模糊軟集可看作給定論域的參數化的模糊集族，是軟集的模糊化擴展，是以參數為架構、以模糊信息為表征的對象表達模型。其不再局限于精確軟集對對象參數的0/1簡單描述，而是以更為靈活的模糊形式表達參數隸屬程度，從而可廣泛應用于各個領域的不確定狀況。

1.2 經典軟集決策

基于經典軟集的決策研究中，Maji和Roy應用粗糙集理論中的屬性約簡方法對軟集參數進行約簡，然后計算選擇值或加權選擇值進行決策[18]；而Chen對Maji所采用的粗糙集屬性約簡方法的適用性表示質疑，提出了基于參數依賴的約簡策略[19]；?ag?man定義了軟集的乘積并以之設計了uni-int決策算法，實現基于不同參數子集間的融合性決策[20]；之后又建立了軟矩陣理論，并給出uni-int算法的矩陣化形式（max-min決策方法）[21]；F.Feng定義了選擇值軟集及k滿足關系，對?ag?man的uni-int算法進行了擴展[22]；Kong應用參數概率填補軟集中的不完全參數信息，并基于選擇值實現決策[23]；Q.Feng基于軟集構建了分辨矩陣及軟分辨矩陣，應用軟分辨矩陣中各分類的參數對比結果進行對象排序[24]。伴隨軟集決策理論研究的不斷深入，面向不同領域的應用架構也開始建立起來。肖智基于軟集理論提出了企業競爭力綜合評價方法[25]；Qin定義了信息系統等價類的軟集模型以獲取相應粗糙集的近似集，從而對分類數據集進行聚類屬性甄選[26]；Xu將軟集理論與統計回歸分析相結合應用于商業失敗預測中的財務比率分析[27]。

總體而言，基于選擇值的策略是最為典型的解決基于軟集架構決策問題的方法。它遵循了軟集理論的參數化研究視角，將論域對象的一系列參數刻畫集結為性能優劣的綜合表達，成為后續模糊軟集決策研究的重要思想基礎和方法支撐。

2 模糊軟集決策方法分析

根據模糊軟集決策的策略選擇，本文將模糊軟集決策方法歸結為以下幾類：基于參數對比的方法、基于參數值集成的方法、基于水平軟集的方法、基于相似度量的方法等。本文將分別對以上各類方法展開綜述，此外還對模糊軟集群決策方法的關鍵技術進行了分析。（見表1）。

表1 模糊軟集決策方法比較

2.1 基于參數對比的決策方法

基于參數對比的決策方法是根據模糊軟集論域中各對象在相應參數上的大小比較關系而實現的決策排序。

早在2007年，Roy和Maji基于模糊軟集中對象在各參數上的比較關系構建比較表，然后計算得分值進行決策排序，形成了模糊軟集的這一決策思路[29]。為解決指標集之間有差異的群決策問題，李銘洋基于模糊軟集構建加權比較矩陣，以加權比較得分值進行決策排序，從而在比較考量中納入了參數的重要度[30]；邵亞斌應用特征函數表達了論域對象相應參數上的比較關系，給出基于加權距離的比較得分值進行決策排序，進一步實現了比較關系的具體量化[31]；王浩倫為解決失效模式與影響分析風險評估問題，將三角模糊軟集轉化為一般模糊軟集，構建比較決策表形成方案排序[32]。

基于參數對比的決策方法契合了模糊軟集的參數化架構及研究視角，但基于獨立參數的比較排序最終歸結為論域對象的綜合得分，從而令各參數的優劣表現直接互補，容易導致非均衡解的產生。此外，該方法的計算復雜度高度依賴于模糊軟集論域中對象的穩定性，當對象出現變動時，整體決策過程往往需要重新執行，這將直接影響決策的執行效率。

2.2 基于參數值集成的決策方法

基于參數值集成的決策方法是應用各類模糊數集成算子對論域對象的參數值進行集結，從而形成綜合的模糊選擇值以進行決策排序。

當Roy的比較得分值方法提出后，Kong對其表示了異議，認為應根據模糊選擇值進行排序[33]。這一思路結合了多屬性決策中綜合評價的策略，也沿襲了經典軟集的選擇值決策手法。但通過對實質為模糊隸屬度的參數值可加性的深入探討，以F.Feng為代表的學者認為Kong以參數值求和計算模糊選擇值的方法并不適用于模糊軟集決策[34,35]。

在基于區間值模糊軟集決策的研究中，Yang基于區間數上下限各自求和的方法計算區間模糊選擇值進行排序[10]；而Xiao將區間值模糊軟集轉化為一般模糊軟集，以加權模糊選擇值進行排序[36]；Chen則運用區間三角模糊選擇值計算決策值，實現基于區間值三角模糊軟集的動態決策[16]。關于直覺模糊軟集的決策方法中，Das基于直覺模糊軟集的基數和選擇矩陣，由醫生關于多種癥狀的評價產生疾病的權重值[37]；Deli將直覺模糊參數軟集轉化為直覺模糊集，并進一步約簡為一般模糊集以執行決策排序[15]；武華定義了廣義直覺模糊軟集的參數值聚合算子以產生被評估對象的直覺模糊評估值，再通過得分函數和精確函數進行排序[38]。

基于參數值集成的決策方法實質是基于各型模糊數集成算子，將模糊軟集轉化為相應的模糊集，然后根據模糊隸屬度予以決策排序。目前，越來越多的模糊數集成算子被不斷引入模糊軟集決策之中，但這些研究主要集中在數理運算上的有效性，而對決策領域所關注的科學性、均衡性、現實性并未過多涉及。需要注意的是，模糊軟集中的參數值表達的是論域對象在該參數上的模糊隸屬度。鑒于對其可加性的疑慮，以參數值執行加和的決策方式在學界依然存有爭議。

2.3 基于水平軟集的決策方法

基于水平軟集的決策方法是運用給定閾值將模糊軟集轉化為精確軟集，從而以經典軟集的選擇值執行決策排序。

2010年，F.Feng首先提出了基于水平軟集的決策方法，其中包括0.5（水平軟集）、mid（水平軟集）、top（水平軟集）等具體的可調整策略[34]，并將其應用于由區間值模糊軟集形成的約簡模糊軟集決策[39]。該方法在保持參數之間獨立性的同時帶來了簡便易行的決策操作，故后續諸多學者的研究持續跟進。Jiang對F.Feng的方法向直覺模糊軟集領域推廣，提出了可調整的直覺模糊軟集決策方法[40]；而Mao則定義了直覺模糊軟集的中位數水平軟集和P分位水平軟集及可調整決策方法，進一步豐富了水平軟集的應用策略[41]。Basu針對F.Feng的水平軟集策略分辨能力不足的缺陷，提出了平均可能方法（MPA）以獲取均衡解[42]。深入分析該方法可以發現，平均可能度的計算要求軟集各參數具有相同的重要度，且基于其構建的平均可能水平軟集忽略了不同參數的參數值分布形態的差異性。同時，當基于平均可能水平軟集所產生的決策方案唯一時，并不能確保其是最優的且均衡的，而該情形也不會觸發后續均衡決策過程。顯然，“平均可能水平軟集的決策方案不唯一”這一約束對產生均衡決策的保證并不充分。

在其他模糊軟集的決策研究中，Yang的多模糊軟集決策[43]，毛軍軍研究的時序模糊軟集群決策問題[44]，Zhang的區間直覺模糊軟集決策[45]，Wang的猶豫模糊軟集決策[13]等，均運用了基于水平軟集的決策思想。

通過對以上水平軟集決策研究的解讀可以看出，該方法秉承了經典軟集的決策思想，在保持參數獨立性的同時實現了簡潔、高效決策。但同時也存在以下問題：首先，由模糊軟集到精確軟集的轉化使得變換后的參數非好即壞，原有程度化信息完全丟失；其次，閾值的剛性帶來了參數解讀的嚴苛，會產生“絲毫差距以至天壤之別”的判斷偏差；最后，水平軟集的0/1形式評價結構令參數的決策認知兩極分化，故分辨能力存在局限。此外，對于F.Feng提出的決策規則可調整的策略，調整標準的缺失使得調整操作具有盲目性。

2.4 基于相似度量的決策方法

基于相似度量的決策方法是基于模糊（軟）集的相似性定義，對論域對象與理想解的相似程度進行衡量，以之實現決策排序。該方法在應用中可有兩種策略：一是只給出理想解，將各對象與之進行相似度量；二是同時給出正負理想解，根據各對象與之距離在兩者之間進行定位，完成相似度量。

就相似度量決策方法的研究歷程而言，第一種策略的應用首先被予以關注。Majumdar在2008年就對軟集的相似性展開研究[46]，然后對廣義模糊軟集基于參數值和相應參數的模糊隸屬度進行相似性度量[47]；王浩倫應用模糊軟集的群決策方法，基于專家意見相對平均值的偏移來確定產品族狀態評價指標的權重[48]。在直覺模糊化的軟集決策中，Muthukumar定義了直覺模糊軟集的相似度量和加權相似度量方法，并應用于醫學診斷[49]；Agarwal定義了廣義直覺模糊軟集，探討了其相似性和大小比較規則以執行決策[14]。Alcantud在模糊軟集決策方法的研究中，對F.Feng關于模糊選擇值適用性的見解表示認同，并提出了基于對象參數值變換計算得分值的決策算法[35]。該方法應用過程中大量的參數值運算容易被誤認為基于參數對比或參數值集成的決策方法，但通過深入分析可以看出，其實質仍然是基于論域對象的參數值模糊集與理想解模糊集的相似性度量。

基于正負理想解距離的相似性度量策略主要來源于TOPSIS決策思想。它將參數值表達融入距離運算，基于論域對象與正負理想解之間的距離進行相對定位，實現相似度量以完成決策排序。Xiao關于梯形模糊軟集提出基于正負理想解距離計算接近度系數以執行決策排序[11]；Zhang定義了梯形區間二型模糊軟集，基于參數加權的正負理想解距離定位進行決策[50]；Tao定義了不確定語言模糊軟集，并給出了基于正負理想解距離的決策算法[51]。與TOPSIS決策思想一致，基于正負理想解距離的相似性度量方法的決策依據是基于距離的相對比值。因此，基于相對定位而最接近于正理想解的方案，其絕對距離并不能確保最小。

相似性作為模糊集的重點屬性而被廣泛研究，同時它也是決策領域的重要解決思路。近年來，這一方法被諸多學者應用于模糊軟集決策。它將參數值表達的模糊隸屬度抽象為論域對象與理想解之間的相似度，從而擺脫了參數各自獨立的緯度束縛，為模糊軟集決策開辟了新的視角。同時，需要注意的是：突破了參數壁壘的相似度，其可加性也帶來了參數表現的互補，故一定程度上可能存在決策評價的非均衡性。因此，該方法應用中要防范“注重整體效用，忽視個體缺陷”的決策風險。

2.5 其他決策方法

除以上模糊軟集決策方法外，還有學者將其他軟計算理論、不確定度量、推理分析等技術應用于決策過程中。這些方法的引入豐富了模糊軟集決策體系，為進一步提升決策性能開啟新的思路，也為決策領域的深化與拓展提供了良好的借鑒。

Zhang給出了基于粗糙集方法的直覺模糊軟集決策模型，應用基于閾值的直覺模糊關系將直覺模糊集轉化為精確模糊集，然后基于粗糙近似理論執行決策，與模糊選擇值、水平軟集及其直覺模糊集推廣的方法、MPA方法相比，展現了良好的性能[28]。但也可以看出，該文獻基于粗糙近似推理的方法更適合于對象的分類決策而非優選決策；而其執行優選的群決策方法是基于直覺模糊的水平集來實現的。隨著推理分析技術的不斷發展，其對模糊軟集決策的支持也被學者所關注。Tang提出了基于灰色關聯分析和D-S證據理論的模糊軟集決策方法[52]；而Wang則應用模糊測度和D-S證據理論實現直覺模糊軟集決策[53]。在此，D-S證據理論應用中的證據組合焦元爆炸問題須予以防范。此外，Peng分別應用決策者的遺憾規避和前景偏好理論解決基于區間值模糊軟集的隨機多準則決策問題[54]。但鑒于當前遺憾與前景等行為理論的研究以描述性模型為主，其規范性還有待加強。

2.6 群決策的權重與集結

目前，基于模糊軟集的群決策方法中，相似度量常被應用于權重確定，通常以群體決策的平均值為標準，偏移程度越高則權重越小。Xiao基于相似系數的計算，按15%～30%的比例舍棄風險較高的專家評價，其余專家給以均等權重[36]；Mao基于歐式距離計算專家評價對平均值的偏移并構建規劃模型，分別應對專家權重完全已知、部分已知、完全未知的情況[41]；Tao基于TOPSIS方法和最大熵理論為不確定語言模糊軟集確定專家權重[51]。此外，伴隨時序（動態）模糊軟集的提出及其群決策應用的推廣，又陸續有基于指數衰減（或對數增長）的權重確定模型被采用：如毛軍軍定義的時序模糊軟集[44]、Chen定義的區間值三角模糊軟集[16]，均基于指數衰減模型確定時間權重進行動態決策。

模糊軟集群決策方法中的決策信息集結主要以加權算術平均、加權幾何平均等集成算子或模糊軟集的且（與，AND）運算為代表。Xiao基于區間值模糊軟集以算術平均融合風險較低的專家評價，解決不確定環境中的多屬性決策問題[36]；Mao定義了直覺模糊軟集加權算術平均算子和加權幾何平均算子進行多專家評價集成[41]；次年，給出了時序模糊軟集的算術加權平均算子進行多時刻信息的集成[44]；Chen定義了算術加權平均算子以集成區間值三角模糊軟集表達的多時刻動態信息[16]；Tao應用加權算術平均集結基于不確定語言模糊軟集的多方專家評價[51]。而李銘洋采用模糊軟集的且運算將評價值進行融合，以解決指標集之間有差異的群決策問題[30]；王浩倫利用三角模糊軟集的AND運算對專家的評價信息進行融合[32]。

3 總結與展望

作為當前軟集理論與決策領域交叉融合的熱點，本文對模糊軟集決策方法進行了綜述；在此基礎上展望其未來發展趨勢，以下幾個方向的研究值得期待：

（1）就現有模糊軟集決策方法而言，有的考慮了參數彼此的獨立性而傾向于更均衡的決策方案，但在分辨能力上卻先天不足；有的注重了對論域對象綜合性能的考量，卻忽視了參數的個體缺陷。因此，在深化軟集理論參數化認知的基礎上，研究兼顧決策均衡性與分辨能力的決策方法，將有效提升決策性能，這也是模糊軟集決策方法研究的首要目的。

（2）各型模糊軟集決策方法包含的模糊信息形式各不相同，構建的決策模型彼此獨立。但在當前的大數據時代背景下，信息形態非常復雜，數據獲取渠道多元，表達方式多樣。故現實決策問題的一手數據往往是混合型的信息表達，在此基礎上實現便捷、高效的實時決策成為新的需求。因此，基于混合模糊信息表達的統一化決策方法的研究具有明確的現實意義。

（3）許多模糊軟集決策方法的研究主要集中于數理運算的可行性與有效性，而關于決策的科學性與現實性涉及有限。此外，決策方法相對于現實決策問題的適用準則、性能評價、調整策略等系統性問題解決方案的探討目前還為數不多。因此，基于決策領域視角的模糊軟集決策方法的專業化剖析與系統性完善，將促進其與決策理論體系的深度融合，構筑從抽象數學模型到切實應用技術的解決路徑。

（4）近年來，粗糙集的粗糙近似理論、灰色系統的灰色關聯分析、D-S證據理論的推理方法、遺憾與前景的行為理論等被紛紛引入模糊軟集決策研究，尤其是模糊集領域的一系列研究成果被源源不斷的納入軟集范疇，形成了對模糊軟集決策研究的持續促進。有鑒于此，其他領域理論與模糊軟集的交叉融匯必然會為模糊軟集決策方法的豐富和發展帶來很好的助推作用。