高中數(shù)學(xué)“含參”問題常用方法

楊忠慧

（河南省三門峽市陜州中學(xué)，河南 三門峽）

解決此類問題有一定的規(guī)律性，常見方法有：函數(shù)思想、分離參數(shù)、變換主元、數(shù)形結(jié)合等，其中分離參數(shù)轉(zhuǎn)換自變量是常用的方法。下面我將根據(jù)例題具體分析一下這些方法。

一、反參為主（即主元法）

對于給出了參數(shù)范圍的“恒成立”問題，常把參數(shù)視為主元，把主元視為已知函數(shù)，即把原題視為參數(shù)的函數(shù)，從函數(shù)角度來解答。

例1.對于任意a∈［-1，1］，函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解：由題令 g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4）>0 對 a∈［-1，1］恒成立。顯然x≠2。

∴g（a）是 a 的一次函數(shù)，要使 g（a）<0 在 a∈［-1，1］上恒成立，只需解之，得：x<1 或 x>3。

點(diǎn)評：此題若按分離法做，分離a得（x-2）a>4x-x2，需討論比較復(fù)雜。

變式：若例1中改為x∈［-1，1］上f（x）>0恒成立，則此題屬于二次函數(shù)區(qū)間定軸動題目。

點(diǎn)評：此題若用分離法不易解答。

通過這個(gè)例題，要使得學(xué)生掌握參數(shù)和未知數(shù)的轉(zhuǎn)換，從而更好更快地解決所遇到的問題。

二、分離參數(shù)和函數(shù)思想

通過恒等變形，將參數(shù)與主元分離出來，使不等式一邊只含參數(shù)，另一邊是與參數(shù)無關(guān)的主元問題，只需求出主元函數(shù)的最值。求主元函數(shù)的最值時(shí)，常用到配方法、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)值域等知識與方法。

解：∵x∈［1,+∞］，要使f（x）>0恒成立，即使

即x2+2x+a>0對x∈［1,+∞］恒成立。

分離參數(shù)得：a>-（x2+2x）=-（x+1）2+1

當(dāng) x∈［1,+∞］時(shí)，g（x）=-（x+1）2+1，最大值為 3。

∴實(shí)數(shù)a取值范圍為：a>-3

點(diǎn)評：以上解法為分離參數(shù)法，這樣通過將含有未知數(shù)的移到一邊，可以很容易利用函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，進(jìn)而可知實(shí)數(shù)a的取值范圍。此題若按函數(shù)思想，則此函數(shù)為雙勾函數(shù)，需討論，比較復(fù)雜。

例2.（2013高考新課標(biāo)Ⅰ21）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2

（Ⅰ）求 a，b，c，d 的值。

（Ⅱ）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍。

解：（Ⅰ）因?yàn)榍€y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），所以b=d=2；因?yàn)閒′（x）=2x+a，故f′（0）=a=4；g′（x）=ex（cx+d+c），故g′（0）=2+c=4，故c=2；所以f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）。

（Ⅱ）函數(shù)思想

令F（x）=kg（x）-f（x），則F′（x）=（kex-1）（2x+4），由題設(shè)可得F（0）≥0，故k≥1，令F′（x）=0得x1=-lnk，x2=-2。

①若1≤k≤e2，則-2

當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0，即F（x）在（-2，+∞）上最小值為F此時(shí)f（x）≤kg（x）恒成立；

②若 k=e2，F(xiàn)′（x）=（ex+2-1）（2x+4）≥0，故 F（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)镕（2）=0所以f（x）≤kg（x）恒成立；

③若k>e2，則F（-2）=-2ke-2+2<0，故f（x）≤kg（x）不恒成立；

綜上所述，k 的取值范圍為［1，e2］。

點(diǎn)評：此題相較于上一題相對復(fù)雜，平時(shí)練習(xí)中，要善于利用函數(shù)思想進(jìn)行思考，靈活解題。