一道2017年高考試題的解法探析

馮小明

（甘肅省嘉峪關市第一中學，甘肅 嘉峪關）

近年來許多省市的高考壓軸題都是導數應用問題，在考查基礎知識和基本方法的同時，注重考查學生綜合能力，特別是對函數與方程、化歸與轉化、分類討論和數形結合等數學思想的靈活運用.本文以2017年全國新課標II卷文科壓軸題為例，探析利用導數解決不等式恒成立問題的方法和策略，以期為高中數學解題教學提供參考.

1.考題再現

（2017年新課標II·文21）設函數f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

2.標準解法

解（1）略

（2）f（x）=（1+x）（1-x）ex.

①當a≥1時，設函數h（x）=（1-x）ex，h′（x）=-xex＜0（x＞0）

因此 h（x）在［0，+∞）單調遞減，而 h（0）=1，故 h（x）≤1，

所以f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1.

②當0＜a＜1時，設函數g（x）=ex-x-1，g′（x）=ex-1＞0（x＞0）

所以 g（x）在［0，+∞）單調遞增，而 g（0）=0，故 ex≥x+1.

當時0＜x＜1，f（x）＞（1-x）（1+x）2，（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），

綜上所述，a的取值范圍是［1，+∞）.

評注 標準答案采用分類討論和舉反例的方法.先利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而研究不等式恒成立，分三種情況討論：①a≥1；②0＜a＜1；③a≤0，其間又用了舉反例的方法，這種方法過于繁雜，學生不易想到.而且這類問題根據題型不同所涉及的解法也不相同，這是高中教學的難點，即便通過訓練也很難提升.

筆者通過對該問題的探析，結合學生的思維模式，給出了以下四種行之有效的解法.

3.拓展解法

解法1 分離參數法

解當x≥0時，f（x）≤ax+1，即αx≥（1-x2）ex-1（*）對?x≥0恒成立.

①當x=0時，（*）顯然恒成立，此時a∈R.

則g′（x）與h（x）同號.

而h′（x）=-xex（x2+4x+1）＜0，所以函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以 h（x）＜h（0）=0.

所以g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減,由洛必達法則有

即當 x→0 時，g（x）→1，即當 x＞0 時，g（x）＜1.

因為 a≥g（x）恒成立，所以 a≥1.

因為（*）式對?x≥0恒成立，所以由①②得a≥1.

評注 將該問題轉化為學生普遍習慣采用的分離參數法，重新構造不含參的函數，再利用“洛必達法則”求解未定式的極限，該問題便迎刃而解.

解法2 二次求導法

解當x≥0時，f（x）≤ax+1，即（1-x2）ex-ax-1≤0對?x≥0恒成立.

令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，則g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a

而g″（x）=ex（-x2-4x-1）＜0，即g′（x）在［0，+∞）是減函數，所以g′（x）≤g′（0）=1-a.

當 1-a≤0 時，即 a≥1 時，g′（x）≤0，此時 g（x）在［0，+∞）是減函數，

所以 g（x）≤g（0）=0，故 a≥1.

評注 構造新函數，對新函數二次求導，通過導函數的導數研究原函數的性質，不失為解決導數壓軸題的良策.

解法3 數形結合法

解令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，則g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a.

因為g（0）=0，所以一定?x0＞0，使得x∈［0，x0）時，g′（x）≤0，

即使得g（x）在［0，x0）單調遞減，即g′（0）=a-1≤0，得a≥1.

評注 對函數進行圖像分析也即數形結合，利用圖像的直觀性分析去解決問題，從而得到解題的思路和方法.

解法4 巧用結論法

解 由人教A版教材選修1-1第99頁B組習題“利用函數的單調性，證明不等式，ex＞x+1，x≠0”，可得 ex≥x+1，將 x 代換為-x，則（1-x）ex≤1.

而f（x）=（1-x2）ex=（1+x）（1-x）ex≤x+1，又當x≥0時，f（x）≤ax+1，故 a≥1.

評注 課本是知識和方法的重要載體，也是高考命題的主要來源，本試題充分體現了“源于教材而又高于教材”的高考命題原則.

4.教學啟示

高考作為選拔性考試，關注學生數學核心素養的考查，試題往往靈活多樣，作為一線教師，教學時通過對一些典型試題的探析，將它轉化為教學的素材，優化教學過程，提高課堂教學的時效性；同時通過典型試題從專業知識的廣度和深度上拓展充實自我，從觀念、理念的更新上豐富自我，不斷提升自己的教學素養.