借助直覺思維 發展數學素養
——以“長方形和正方形的認識”的教學為例

江蘇南京市金陵小學（210000）

在小學數學學習中，學生從一年級開始就借助實物認識長方體、正方體、圓柱體和球體；二年級逐漸從實物中抽象出圖形；到了三年級，則進一步認識長方形和正方形的基本特征，抽象出幾何模型。在三年級這一階段，圖形的很多幾何特征需要學生動手操作進行驗證，在驗證的過程中可有效培養學生的基本素養。由于三年級學生正處于從直覺思維過渡到抽象思維的階段，因此指導學生借助直覺思維進行幾何學習，是一個非常重要且有效的教學手段。

一、聯系生活，激活經驗

師：課前已讓大家尋找身邊哪些物體的面是長方形或者正方形，現在誰愿意說一說？

[評析：“讓學生尋找身邊物體的哪些面是長方形或者正方形”，這看似簡單，其實正是要激活學生的直覺思維。教育學家第斯多惠曾經說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！弊寣W生從自己或他人的介紹中喚醒已有的數學經驗，在經驗的幫助下明確長方形和正方形是物體上的一個面，從而體會面和體是不一樣的。]

二、了解學情，明確重點

師：你已經知道了長方形和正方形的哪些特征？你是怎么知道的？

生1：它們都是四邊形，我是通過數邊知道的。

生2：它們都有四個角，我是通過數角知道的。

生3：它們的四個角都是直角，可以用三角尺來量。

生4：長方形對邊相等，正方形四條邊都相等，折一下就知道了。

……

師：我們通過數一數就可以知道長方形和正方形都有四條邊和四個角，可是生3和生4所說的話，我們需要借助一定的工具來證明是否正確。也就是說生3和生4提出了兩個“數學猜想”，我們大家需要想辦法證明它們是否正確，這個想辦法的過程就叫作“驗證”。

[評析：關于長方形和正方形的特征，很多學生都有這樣的認識：“長方形對邊相等，正方形四條邊都相等，這個早就知道了，為什么還要驗證，什么叫驗證，怎么進行驗證……”如果教師一直糾結于這些偏離了本節課的教學重點的問題，那么教學時間將會遠遠不夠，學生也不能經歷“發現問題—提出猜想—進行驗證”的過程；而如果教師忽視這些問題，則會大大打擊學生學習數學的積極性，降低學生的學習效率。]

作為教師，我們要認識到，學生“早就知道”長方形和正方形的這些特征，這正是直覺思維的作用。但也正是因為直覺思維對學生認知的影響，學生會忽略掉“驗證”這一關鍵步驟。因此，我們教學的首要任務并不是幫助學生按部就班地解決問題，而是激發學生的思維活力，促進學生更好地理解數學的基本知識和基本思想。考慮到以上這些情況，本節課我先請學生匯報長方形和正方形的特征。由于之前已經喚醒了學生的生活經驗，這里學生會說出很多結論（當然大部分結論肯定是正確的），這些結論正是數學學習過程中最不可或缺的一部分——數學猜想。匈牙利著名數學家波利亞說過：“要想成為一名好的數學家，你必須首先是一個好的猜想家。”可見，猜想對于數學學習的重要性。

三、細化操作，進行驗證

在學生驗證猜想的過程中，我們不難發現，他們驗證“直角”非常迅速，可是驗證“邊相等”卻有些緩慢，并且驗證的過程也不太嚴謹。因為學生沒有相應的數學經驗，他們認為折一下，長方形和正方形的四條邊放在一起就能知道“長方形對邊相等，正方形四條邊都相等”。為了避免學生走入誤區，也為了讓他們能夠看清楚究竟哪幾條邊相等，教師應引導學生進行細化操作。在教學中，我采取讓學生對邊進行編號的方式進行驗證（長方形四條邊依次編號 1、2、3、4）。

師：像這樣折（1號邊和3號邊對折），長方形的哪幾條邊是相等的？你是怎么知道的？

生5：1號邊和3號邊是相等，因為它們正好重合，而2號邊和4號邊被折成兩半，不能馬上說相等。

師：也就是說，折一次證明了幾條邊相等？

生5：2 條。

師：如果想證明2號邊和4號邊是相等，怎么做？

生5：換個方向對折。

師：所以要證明長方形對邊相等，需要折幾次呢？

生5：2 次。

師：要證明正方形四條邊都相等，需要折幾次？可以怎么折？

[評析：數學直覺是一種感覺，更是學生經驗、知識與技能的再拓展。在本環節中，學生正是在數學直覺的牽引下，聯想到用折一折的方法進行驗證。當然，在折的過程中存在著不嚴謹的現象。美國加州大學的伍鴻熙教授曾強調指出：“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們（學生）很快會忘記猜測與證明之間的區別?！币虼?，教師要給予適時的幫助，細化操作和驗證的過程，真正培養學生的數學意識和數學素養。]

四、借助實物，構建模型

對于長方形和正方形的特征，其實遠不止角和邊的關系，還有對角線互相平分、中心對稱、軸對稱等關系。那么對于這一課時的教學，應該實現怎樣的教學目標呢？基于這樣的思考，我啟發學生利用直覺思維，讓學習在操作中逐步展開。

師：剛剛我們把正方形斜著折，那么長方形可不可以斜著折呢？（學生自主動手折長方形）

師：這兩個三角形大小相等嗎？

生6：應該相等吧。

師：數學要嚴謹，可不能用“應該”這個詞！怎么證明它們是否相等？

師：剛剛我們把長方形和正方形都對折了，現在把它們打開，仔細觀察折痕，你發現了什么？

[評析：在這一環節，通過問題的引領，學生興奮地實踐著、操作著，也在不經意間去觀察自己的活動，審視紙片上的折痕。為了更清晰直觀地呈現折痕，學生會嘗試將這些折痕描出來。豐富的活動和感知積累，勢必會誘發學生的靈感，煥發學生的直覺思維。因此，學生很快就有所發現，更有一些學生通過用直尺量一量就發現這些折痕都被中心點平分。]

在教學中，我們要重視學生觀察能力的培養，因為觀察是發現的基礎，也是創造的靈感源泉所在?！皩㈤L方形和正方形打開，仔細觀察折痕，你發現了什么？”這個問題不但能激發學生的觀察興趣，也讓學生的觀察更具指向性。學生對“軸對稱”獲得了最直接的感悟。

愛因斯坦曾說：“真正可貴的因素是直覺?！睌祵W直覺思維的培養是數學教學中容易被忽視但又非常重要的實踐內容，教師應充分認識數學直覺思維對創造性思維發展的意義和作用，在數學教學中注意培養學生的數學直覺思維，使學生的數學素養得到有效提升。