『數列五類熱點問題』突破

2018-02-26 05:44:23江蘇省南京市第十三中學陸逸凡

中學生數理化(高中版.高考數學) 2018年1期

■江蘇省南京市第十三中學陸逸凡

高考對數列的考查主要是圍繞“等差和等比數列的通項與求和、一般數列的切入點的應用、公式法求和、裂項相消法求和、錯位相減法求和、數列新定義問題的探究”等展開的,凸顯數列的工具性、應用性及創新性。

熱點1：等差、等比數列的基本性質

例1 (1)(河北省衡水中學2017屆高三上學期第三次調研)已知等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對于任意的自然數n,都有

(2)在等比數列{an}中,a1=4,公比為q,前n項和為Sn,若數列{Sn+2}也是等比數列,則q等于( )。

A.2 B.-2 C.3 D.-3

熱點2：等差、等比數列中的最值問題

例2 (1)(河北衡水中學2017屆高三上學期第二次調研)已知數列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7,若其前n項和為Sn,則Sn的最大值為。

(2)(2017年安徽阜陽二模)設等比數列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為。

解析：(1)構建等差數列的通項求最值。由4an+1=4an-7,知數列{an}為等差數列,公差d=-,{a}為單調遞減數列,其通項

n,所以n=15,即數列{an}的前15項均為正值,第16項開始為負值,故S15最大,S15=

(2)由整體代換確定公比,進而求通項公式,a2+a4=qa1+qa3=q(a1+a3)=10q=5,得

突破：求解數列中的最大項或最小項,先研究數列的單調性,可以用也可以轉化為函數最值問題或利用數形結合求解。對于公差d<0的等差數列,當a1<0時,存在最大值,且(Sn)max=S1=a1,但無最小值;當a1＞0時,存在最大值Sm,正整數m由不等式組當am=0時,最大值Sm-1=Sm,但無最小值。類比可探究d＞0時的最值,或利用二次函數求解;等比數列中的最值可以構造二次函數求解或構建不等式組求解或借助公比溝通降元用均值不等式求解。

熱點3：Sn與d=0之間的關系及裂項法求特殊數列的和

例3 (河南八市重點高中2017屆高三第一次測評)已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an+n(n ∈N*)。

(1)求證數列{an-1}是等比數列,并求數列{an}的通項公式;

解析：(1)由一般數列的切入點化輔助數列為等比數列。當n=1時,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;當n≥2時,Sn-1=2an-1+n-1,Sn=2an+n(n∈N*),an=Sn-Sn-1,則an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1)。因為a1-1=-2≠0,故an-1≠0,所以{an-1}是首項為-2,公比為2的等比數列,所以an-1=-2n,an=-2n+1。

突破：數列前n項和與對應的項滿足關系式an+1=kSn+b,n∈N*或an+1=kSn+bn+m,m,n∈N*,總可以利用一般數列的切恒等變形構造輔助的等比數列,通過解方程求通項。裂項方

解析：(1)由S2=2a2-2,S3=a4-2,作差可得a3=a4-2a2,由等比數列通項公式得q2-q-2=0。因為q＞0,所以q=2,代入S2=2a2-2,可得a1=2,所以an=2n。

(2)由于{bn}為等差乘等比型,所以利用錯位相減法求和。相消法求和后再求范圍。

熱點4：錯位相減法求特殊數列的和

例4 (2017年甘肅省第二次高考診斷)已知等比數列an{}的前n項和為Sn,公比q＞0,S2=2a2-2,S3=a4-2。

(1)求數列an{}的通項公式;

突破：運用錯位相減法求和應注意：一是判斷模型,對于數列{anbn},數列{an},{bn}中一個為等差數列,一個為等比數列;二是錯開位置,一般是先給前n項和逐項乘以公比,再把前n項和退后一個位置來書寫,這樣避免兩式相減時看錯列;三是相減,相減時一定要注意式中最后一項的符號;四是中間兩兩結合提公差構成等比數列前n-1項和用公式求和,為保證結果正確,可對得到的和取n=1,2進行驗證。