聚焦三角函數和解三角形中的經典問題

■江蘇省平潮高級中學高中數學組 張曉萍

高考對三角的考查,主要圍繞“和差角及倍角公式、三角形中的三角變換及最值、圖像變換(平移和伸縮)、圖像性質的應用、實際應用問題”等展開,凸顯方程思想、整體變量觀念和數形結合思想方法的具體應用。

聚焦1——利用二倍角及“二次函數關系”變結構求值或最值

例1 (2017年第三次全國大聯考新課標卷Ⅰ)函數f(x)=sinx+cosxsinxcosx+1的值域為 。

聚焦2——三角變換中“恒等變形湊角”求值

剖析：給值求值,關鍵是找出已知式與待求式之間角的差異。從湊角入手,已知角為一個時,待求角用已知角和特殊角表示或用已知角有“倍的關系”或“互余互補關系”表示;已知角為兩個時,待求角一般表示為已知角的和或差的代數式。

聚焦3——三角函數圖像變換方法

例3 (2017年廣東珠海市高三摸底)已 知 曲 線 C1：y=sinx,C2：y=

A.把曲線C1上各點橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2

B.把曲線C1上各點橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平個單位長度,得到曲線C2

C.把曲線C1向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,得到曲線C2

D.把曲線C1向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,得到曲線C2

解析：依據“先周期后相位”或“先相位后周期”的兩種思維方法對選擇支分別驗證。

故選B。

剖析：三角函數圖像變換,首先要利用誘導公式將不同名函數轉換成同名函數,常用行圖像變換時有兩種途徑：一是先伸縮再平移,二是先平移再伸縮。特別注意：y=Asin(ωx+φ1)到y=Asin(ωx+φ2)的平移單位是Δx=,當Δx＞0時,將y=Asin(ωx+φ1)圖像上的點向左平移Δx個單位得到,當 Δx<0時,將y=Asin(ωx+φ1)圖像上的點向右平移-Δx個單位得到。

聚焦4——結合三角變換求解三角函數問題

(1)設方程f(x)-1=0在(0,π)內有兩個零點x1,x2,求f(x1+x2)的值;

剖析：利用向量數量積的運算和三角變換化歸余弦函數,借助余弦函數區間上的對稱性簡化求值,利用圖像變換得到函數表達式,運用整體變量解出其單調區間,凸顯了三角函數的工具性、應用性及交匯性。

聚焦5——三角形中的三角變換及最值

例5(2017年第二次全國大聯考)在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,

(1)求角A;

(2)若a=3,求△ABC面積的最大值。

(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,且a=3,所以(3)2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc。

因為b2+c2≥2bc,所以3≥2bc-bc,即bc≤3,當且僅當b=c=3時,bc取得最大值。又a=3,故bc取得最大值時,△ABC為等邊三角形,此時三角形面積最大值為

剖析：三角形中挖掘隱含條件“三角形內角和定理、正弦定理、余弦定理”,目標意識下化統一：“邊化角”或“角化邊”,常常從尋求角的差異入手,合理降元選用公式進行變換,對于最值或范圍問題,將目標函數變換——邊化角,利用正余弦的有界性求解或者借助余弦定理溝通邊滿足的關系,運用不等式放縮可得到三角形面積最大值和周長最大值。

熱點6——應用正弦定理、余弦定理解決實際問題

例6 (2017年第二次全國大聯考)如圖1所示,為了測量A,B兩處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方

向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為( )。

圖1

解析：依據已知的方位角的意義構建一系列的三角形,合理應用正余弦定理求解。如圖1,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得202。在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=2CD=402。

在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=800+3200-2×202×402×=2400,解得AB=206。

剖析：解三角形應用題的方法步驟：(1)讀懂題意,理解問題的實際背景,明確已知和所求,理清量與量之間的關系。(2)根據題意畫出示意圖,將實際問題抽象成解三角形模型。(3)選擇正弦定理或余弦定理求解。(4)將三角形問題還原為實際問題,注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等。