立體幾何專題測試卷

■河南省漯河市第五高級中學數學組 劉 惠

編者的話：強化對核心考點的演練、注重對經典題型的歸納,是學好數學的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設此欄目,希望同學們能認真對待。從本期開始,如果都能把試卷保存好,對以后的復習大有裨益。

一、選擇題

1.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,給出下列命題：①若α⊥β,m∥α,則m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥β;③若m⊥β,m∥α,則α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β。其中正確命題的序號是( )。

A.①④ B.②④ C.②③ D.①③

2.設l,m,n為三條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下列命題中正確的個數是( )。

①若l⊥n,m⊥n,則l⊥m

②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α

③若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α

④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,則l∥n

A.1 B.2 C.3 D.4

3.下列說法不正確的是( )。

A.空間中,一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形

B.同一平面的兩條垂線一定共面

C.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直

D.過直線上一點可以作無數條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一個平面內

4.設α,β是兩個不同的平面,l是一條直線,則以下命題正確的是( )。

A.若l⊥α,α⊥β,則l?β

B.若l∥α,α∥β,則l?β

C.若l⊥α,α∥β,則l⊥β

D.若l∥α,α⊥β,則l⊥β

5.已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC滿足AB=22,∠ACB=90°,PA為球O的直徑且PA=4,則點P到底面ABC的距離為( )。

A.2 B.22 C.3 D.23

6.如圖1,在四面體D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中點,則下列命題中正確的是( )。

A.平面ABC⊥平面ABD

圖1

B.平面ABD⊥平面BCD

C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE

7.已知球的半徑是1,A,B,C三點都在球面上,A,B兩點和A,C兩點的球面距離都是,B,C兩點的球面距離是,則二面角B-OA-C的大小是( )。

8.如圖2,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為1,E,F分別為C1D1與AB的中點,則B1到平面A1FCE的距離為( )。

圖2

9.如圖3,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F,G分別是線段B1B,AB和A1C上的動點,觀察直線CE與D1F,CE與D1G。給出下列結論：①對于任意給定的點E,存在點F,使得D1F⊥CE;②對于任意給定的點F,存在點E,使得CE⊥D1F;③對于任意給定的點E,存在點G,使得D1G⊥CE;④對于任意給定的點G,存在點E,使得CE⊥D1G。

圖3

其中正確結論的個數是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

圖4

A.3 B.1

C.-1 D.-3

11.如圖5所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2。若二面角C-AB-C1的大小為45°,則點C 到平面C1AB的距離為( )。

圖5

12.下列命題中錯誤的是( )。

A.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β

B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ

C.不存在四個角都是直角的空間四邊形

D.空間圖形經過中心投影后,直線還是直線,但平行直線可能變成相交直線

14.如圖6,在一個60°的二面角的棱上有兩個點A,B,線段AC,BD分別在這個二面角的兩個面內,并且都垂直于棱AB,且AB=AC=1,BD=2,則CD的長為( )。

15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是正方體的底面A1B1C1D1(包括邊界)內的一動點(不與A1重合),Q是底面ABCD內一動點,線段A1C與線段PQ相交且互相平分,則使得四邊形A1QCP面積最大的點有( )。

圖6

A.1個 B.2個 C.3個 D.無數個

16.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l,使直線l分別與AB,AD,AA1三條棱所成的角都相等,則這樣的直線l有( )。

A.1條 B.2條

C.3條 D.4條

金屬性接地短路指線路發生接地時，短路電阻數值很小，可以簡化為直接接地，如圖1.1。最常見的有經弧光電阻接地。金屬性短路接地故障點的邊界條件為：UA=0；IB=0；IC=0（以A相短路接地為例）。

17.如圖7,棱長為2的正四面體ABCD的三個頂點A,B,C分別在空間直角坐標系的坐標軸Ox,Oy,Oz上,則定點D的坐標為( )。

圖7

18.二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內,且都垂直于AB。已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為( )。

A.150° B.45° C.60° D.120°

19.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA=1,已知G和E分別為1A1B1和CC1的中點,D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點),若CD⊥EF,則線段DF的長度的取值范圍為( )。

20.如圖8,在棱長為1的正方體 ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F是側面BCC1B1內(包括邊)的動點,且A1F∥平面D1AE,沿A1F運動,將B1點所在的幾何體削去,則剩余幾何體的體積為( )。

圖8

21.已知三棱錐S-ABC的每個頂點都在球O的表面上,SA⊥底面ABC,AB=AC=4,BC=215,且二面角S-BC-A的正切值為4,則球O的表面積為( )。

A.240π B.248π C.252π D.272π

22.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,其表面上的動點T到底面ABCD的中心O的距離為2,則線段TO的中點的軌跡長度為( )。

A.π B.2π C.3π D.4π

二、填空題

23.長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為____。

24.已知三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD=22,則直線AD與底面BCD所成角的大小為____。

25.A是銳二面角α-l-β的平面α內一點,AB⊥β于點B,AB=3,A到l的距離為2,則二面角α-l-β的平面角大小為____。

26.已知一條直線上有兩個點A,B到平面的距離分別為3cm和5cm,則AB的中點到平面的距離為____cm。

27.如圖9,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側面BCC1B1及其邊界上運動,并且總是保持AP⊥BD1,則動點P的軌跡是____。

圖9

28.P是棱長為2的正四面體內任意一點,則它到該正四面體各個面的距離之和等于____。

29.如圖10,在三棱錐A-BCD中,BC=DC=AB=AD=2,BD=2,平面ABD⊥平面BCD,O為BD的中點,P,Q分別為線段AO,BC上的動點(不含端點),且AP=CQ,則三棱錐P-QCO體積的最大值為____。

30.如圖11,四面體ABCD的每條棱長都等于2,點E,F分別為棱AB,AD的中點,則

圖10

圖11

31.如圖12,已知邊長為1的正△A'BC的頂點A'在平面α內,頂點B,C在平面α外的同一側,點B',C'分別為B,C在平面α內的投影,設BB'≤CC',直線CB'與平面A'CC'所成的角為φ。若△A'B'C'是以角A'為直角的直角三角形,則tanφ的最小值是____。

圖12

32.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,側棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若直線AB1與直線A1C的夾角的余弦值是

33.設G是三棱錐V-ABC的底面重心,用空間的一組基向量表示向量____。

34.已知球的表面積為2π,球面上有A,B,C三點。如果AB=AC=2,BC=22,則球心到平面ABC的距離為____。

35.在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=23,O為AC的中點,過C作BO的垂線,分別交BO,AB于點R,D,若∠DPR=∠CPR,則三棱錐P-ABC體積的最大值為____。

36.將邊長為2,銳角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成四面體ABCD,E,F,G分別為AC,BD,BC的中點,則下列命題中正確的是____。(將正確的命題序號全填上)

①EF∥AB;②EF是異面直線AC與BD的公垂線;③CD∥平面EFG;④AC垂直于截面BDE。

37.已知三棱錐O-ABC中,A,B,C三點均在球心為O的球面上,且AB=BC=1,∠ABC=120°,若球O的體積為,則三棱錐O-ABC的體積是____。

三、解答題

38.如圖13,四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為4的正方形,O是AC與BD的交點,SO⊥平面ABCD,E是側棱SC的中點,異面直線SA和BC所成角的大小是60°。

(Ⅰ)求證：直線SA∥平面BDE;

圖13

(Ⅱ)求直線BD與平面SBC所成角的正弦值。

39.如圖14,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=2。

(Ⅰ)求證：AC⊥PC;

(Ⅱ)求二面角B-PC-D的余弦值。

圖14

40.如圖15,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°。

(Ⅰ)求證：AC⊥平面BDE;

(Ⅱ)求二面角F-BE-D的余弦值;

(Ⅲ)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論。

圖15

41.如圖16,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,D是BC的中點。

(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值;

(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值。

圖16

42.如圖17,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=3,AC=BC=2,D為AB的中點,E為BB1上一點,且

圖17

(2)若直線CE與平面A1DE所成的角為30°,求λ的值。

43.如圖18,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為a,P為線段A1B上的動點。

(Ⅰ)試確定A1P∶PB的值,使得PC⊥AB;

(Ⅱ)若A1P∶PB=2∶3,求二面角P-AC-B的大小。

圖18

44.如圖19,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,E是BC的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接 AE,AC,DE,得到如圖20所示的幾何體。

圖19

(1)求證;AB⊥平面ADC;

(2)若AD=1,二面角CAB-D的平面角的正切值為6,求二面角B-AD-E的余弦值。

圖20

45.如圖21,三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分別為棱AA1,AC的中點。

(1)在平面ABC內過點A作AM∥平面PQB1交BC于點M,并寫出作圖步驟,但不要求證明。

(2)若側面ACC1A1⊥側面ABB1A1,求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值。

圖21

46.如圖22,在四棱錐PABCD中,PA丄平面ABCD,∠ABC= ∠ADC=90°,∠BAD=120°,AD=AB=1,AC和BD交于O點。

(Ⅰ)求證：平面PBD丄平面PAC。

(Ⅱ)當點A在平面PBD內的射影G恰好是△PBD的重心時,求二面角B-PD-A的余弦值。