理解公式，活學活用

于 健

對于初學三角恒等變換的同學而言，總覺得公式眾多，不能熟練對公式進行逆用或變式應用，解題時總是呆板地套用公式，解題效率低下，結果是積累的問題越來越多，越學越亂.其實我們只要理解了公式的來龍去脈，熟悉了公式的結構特征，很多時候并不需要死記硬背.

一、公式變形及主要變換策略

1.常用的公式變形

（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1?tanαtanβ）；（兩角和與差的正切公式變形）

（3）1＋sin 2α＝（sinα＋cosα）2，1-sin 2α＝（sinα-cosα）2，sinα±cosα＝

2.主要的變換策略

（1）變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.對角的變形如，

②2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是的二倍是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，是的二倍等.

（2）變名：通過變換函數名稱達到減少函數種類的目的，其手法通常有“弦切互化”“升冪與降冪”等.

（3）變式：根據式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標.

二、應用舉例

1.求值

例1已知求 sin2θ＋sinθcosθ＋2 cos2θ的值.

分析由已知可得tanθ＝2.若直接由tanθ＝2分別求出sinθ，cosθ，需要對θ分別在第一、三象限兩種情形進行討論，相當繁瑣且運算量大，仔細觀察sin2θ＋sinθcosθ＋2 cos2θ，發現這是一個關于正弦和余弦的三項齊次式，倘若能把所求的式子轉化為只含有tanθ的式子，則題目就相當容易解答了.

評析解答本題的關鍵是實 施變“名”，即將“sin2θ＋sinθcosθ＋2 cos2θ”化成只含有tanθ的式子，從而快速解答.再如理解了這樣的變式，我們在自己的頭腦里就可以推導出用tanα表示cos 2α，tan 2α，這就是課本中所說的萬能公式.

例2設α為銳角，若則的值為________.

解法一因為α為銳角且即①又因為sin2α＋cos2α＝1， ②

根據①②可以求出sinα，cosα，進而可求 sin2α，cos2α.最終得

解法二因為α為銳角且所以

解法三令則

因為α為銳角且，所以

評析法一是“按部就班”套用公式；法二是靈活“配角”，將要求的角配為與已知角有關的角法三是使用了換元思想，無論已知角與要求角的形式差異有多大，都可以使用這種方法，不需要刻意地“配角”.

2.化簡

例3化簡：

解因 為 已 知所以

評析在二倍角公式中，兩個角的倍數關系，不僅限于2α是α的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關系，化簡過程中還應該注意角的范圍.

3.求函數的值域

例4已知

（1）若tanα＝2，求f（α）的值；

由tanα＝2，可得

所以f（x）的值域為

評析將f（x）化簡是解題的關鍵，本題中巧妙運用“1”的代換技巧，將sin2α，cos2α化為正切tanα，為第（1）問鋪平道路.

把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝即將原函數化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，可進一步研究函數的周期、單調性、最值與對稱性等性質.

鞏固練習

參考答案