例談類比思維的運(yùn)用

張圣官

類比推理就是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的一系列相同或相似的屬性，猜測它們之間也可能具有的其他一些相同或相似的屬性的思維方法.波利亞說過：“類比是某種類型的相似性，是一種更確定的和更概念性的相似.”類比推理的思維過程大致是：觀察、比較→聯(lián)想、類比→猜測新的結(jié)論.類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉，是一種較高層次的信息遷移.下面以高考試題為例給予分類剖析，希望能對大家有所啟迪.

一、特殊向一般類比

由特殊向一般類比，提升同學(xué)們的發(fā)散思維、理性思維，也即是通常所講的“推廣”.

例1已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).試研究函數(shù)（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由.

解（1）設(shè)

當(dāng)n是奇數(shù)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

當(dāng)n是偶數(shù)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

點(diǎn)評一般函數(shù)是特殊函數(shù)在形式上的推廣，兩者結(jié)構(gòu)形式類似，可以進(jìn)行類比.事實(shí)上，令u＝xn，則y＝即化為形如的函數(shù)，結(jié)論也更容易獲得.

二、抽象向具體類比

將抽象問題向具體問題類比，鍛煉我們思維的靈活性和化歸能力.

例2已知f（x）是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R都滿足：f（ab）＝af（b）＋bf（a）.

（1）求f（0），f（1）的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（3）若f（2）＝2，N*），求數(shù)列｛Un｝的前n項(xiàng)和Sn.

解（1）f（0）＝0，f（1）＝0；（2）f（x）是奇函數(shù)，證明略；（3）當(dāng)ab≠0時令則g（ab）＝g（a）＋g（b）.

類比對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易得g（an）＝ng（a）.

所以f（an）＝ang（an）＝nang（a）＝nan-1f（a）.

因?yàn)閒（2）＝2，所以

點(diǎn)評以上將抽象函數(shù)g（x）類比到對數(shù)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了相關(guān)結(jié)論，從而打開了解題思路.

三、低維向高維類比

由低維向高維類比，屬于開放性題型，對于提高我們的探究能力和想象力大有幫助.

例3如圖1，點(diǎn)P為斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.

（1）求證：CC1⊥MN；

（2） 在 任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2-2DF·EFcos∠DFE，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.

圖1

解（1）因?yàn)镃C1∥BB1?CC1⊥PM，CC1⊥PN，所以CC1⊥平面PMN?CC1⊥MN；

因?yàn)镃C1⊥平面PMN，所以上述的二面角為∠MNP.

在△PMN中，

四、平行性類比

這是在兩類相近事物的性質(zhì)間進(jìn)行的類比，如等差數(shù)列與等比數(shù)列，橢圓和雙曲線等.

例4已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM·kPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線（a＞b＞0）寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

解若M，N是雙曲線（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM·kPN是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.

證明如下：設(shè)M（x1，y1），則N（-x1，-y1），又設(shè)P（x，y），

五、方法性類比

這是將某一數(shù)學(xué)內(nèi)容的處理方法遷移到另一數(shù)學(xué)對象中的一種手段，如課本上的方法類比到課外習(xí)題中，是較高層次上的類比.

例5設(shè)，利用課本推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f（-5）＋f（-4）＋…＋f（0）＋…＋f（6）的值為________.

解析類比等差數(shù)列求和的倒序相加法，由，可得：

設(shè)S＝f（-5）＋f（-4）＋…＋f（0）＋…＋f（6），

則S＝f（6）＋f（5）＋…＋f（0）＋…＋f（-5），

所以2S＝[f（-5）＋f（6）]＋[f（-4）＋f（5）]＋…＋[f（6）＋f（-5）]＝

所以f（-5）＋f（-4）＋…＋f（0）＋…＋f（6）的值為

點(diǎn)評課本是知識之本、方法之根，課本上的題目、概念、方法看似簡單，但卻是最基本、最重要的，從課本出發(fā)，加以類比、推廣、拓展，可以進(jìn)而解決復(fù)雜問題，切不可輕視課本啊！

鞏固練習(xí)

1. 已知兩個圓：x2＋y2＝1 ①與x2＋（y-3）2＝1 ②，則由①式減去②式可得兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例.推廣的命題為____________________.

2. 在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19-n（n＜19，n∈N*）成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式_________________成立.

參考答案

1.本題是由圓（特殊的）到圓（一般的）之間的類比，也就是數(shù)學(xué)研究中的一般化方法，即從特例中抽象出共同的特性.本題的關(guān)鍵之處是兩圓半徑必須相等，即由圓方程（x-a）2＋（y-b）2＝r2①與（x-c）2＋（y-d）2＝r2②（a≠c或b≠d）相減，可得它們的對稱軸方程為2（c-a）x＋2（d-b）y＋a2＋b2-c2-d2＝0.

2.這是由一類事物（等差數(shù)列）到與其相似的一類事物（等比數(shù)列）間的類比.在等差數(shù)列｛an｝前19項(xiàng)中，其中間一項(xiàng)a10＝0，則a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20-n＝an＋1＋a19-n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝-a19-a18-…-an＋1.又因?yàn)閍1＝-a19，a2＝-a18，…，a19-n＝-an＋1，所以a1＋a2＋…＋an＝-a19-a18-…-an＋1＝a1＋a2＋…＋a19-n.相似地，在等比數(shù)列｛bn｝的前17項(xiàng)中，b9＝1為其中間項(xiàng)，則可得結(jié)論b1b2…bn＝b1b2…b17-n（n＜17，n∈N*）成立.