薄板在HASS試驗振動載荷下的響應分析

王海東，王肇喜，楊勝康，陳志偉

（1.上海航天精密機械研究所環境試驗檢測部，上海 201600；2.西安電子科技大學機電工程學院，陜西 西安 710071）

0 引言

開展應力篩選和可靠性試驗已成為產品研發和生產過程不可缺少的重要組成部分，其對提高產品針對性、篩選效率及功能可靠性具有重要意義。高加速應力篩選（HASS）試驗采用遠高于產品技術條件規定值的應力量級進行試驗，以快速激發并清除產品潛在缺陷，從而達到提高裝備可靠性的目的[1]。

據統計分析，振動環境和熱環境是對裝備失效形式最主要的影響因素。因此，溫度和振動被列為最有效的試驗應力，施加這兩種載荷能夠更加可靠的模擬產品在使用時的工作環境。其中，振動載荷可使結構過度彎曲而導致器件表面粘附、斷裂或分層，甚至造成結構疲勞失效的產生[2，3]。因此，許多研究者對產品在HASS試驗隨機振動載荷條件下的響應展開了研究[4，5]。

李健[6]采用模態迭加方法和等效黏滯性小阻尼條件，計算復合載荷作用下的振動加速度響應分析。馬思鵬[7]通過對小尺寸PCB組件進行了有限元建模和隨機振動加速試驗的仿真分析得出振動響應曲線。孟玥然[8]利用仿真的手段對電路板組件進行隨機振動試驗分析，得到其頻響特性曲線。圖1為HASS振動載荷試驗剖面示意圖，如圖1所示，橫坐標為振動數值加載的時間，縱坐標為所選振動量級大小，振動幅值用加速度均方根值來表示。而且其振動載荷在時域上呈現明顯的超高斯振動特性[9，10]。

此外，國內外學者也開始進行非高斯信號形成的研究[11，12]。Seong[13]基于非高斯隨機信號生成的方法，將建筑表面的風力載荷基于一定方法模擬成時域非高斯信號歷程。Kumer[14]采用逆傅里葉變化方法，利用自己提出的將一個隨機過程中的高峰值部分通過簡化指數峰值模型的參數來進行還原的方法，在此基礎上形成了非高斯類型的風壓時間過程。蔣瑜[15]利用快速傅里葉變換算法，提出了一種基于幅值調制和相位重構的非高斯隨機振動數值模擬方法。

經過數十年的研究，大多是從頻域的角度進行板結構的振動載荷響應分析，很少從時域的角度出發進行載荷響應分析，而且目前對于非高斯隨機過程的數字模擬可分為兩大類：（1）根據指定的統計參數如均值、均方差、偏斜度、峭度以及功率譜密度函數來模擬非高斯隨機過程；（2）根據特定的概率密度函數與功率譜密度函數對非高斯隨機過程進行模擬。

本文基于二次相位調制控制激勵峭度的方法進行了HASS試驗隨機振動載荷的數值模擬，進行薄板在HASS試驗隨機振動載荷下的數值響應分析，獲得其應力分布及薄弱位置，為裝備失效分析及合理制定HASS試驗剖面奠定理論基礎及依據。

圖1 HASS振動載荷剖面

1 HASS振動激勵載荷分析

1.1 HASS振動載荷模擬

振動篩選過程中求解每個量級對應下的時域信號，從時域著手分析求解結構動力學響應。HASS試驗主要是使用一種新型的超高應力加載試驗系統，在試驗的過程中會產生一種不同于傳統高斯分布的超高斯型隨機振動信號。因此，對于HASS試驗振動載荷可采用通過二次相位調制來控制激勵信號峭度值的方法對超高斯隨機振動信號進行模擬。圖2為環境應力篩選中采用的典型隨機振動激勵譜。

圖2 典型隨機振動激勵譜

在頻域分析上，表示一個隨機過程信號只需要有幅值信息與相位信息即可，其中幅值Ak可由公式（2）求得。但是當樣本數量接近無窮時，隨機過程大概表現為高斯分布時，相位φk在（-π，π）上表現為均勻分布隨機數時，可對相位角φk進行調制改變，使其數值在（-π，π）上不再符合隨機分布性來達到實現還原超高斯激勵信號的目的。

式中：N 為正整數，φk為（-π，π）上均勻分布的獨立隨機相位角。

式中：Δf=（fu-fl）/N，N是采樣點數。[fu-fl]是隨機過程功率譜密度Sx（f）具有顯著值得頻率范圍，fk=kΔf.

將概率密度分布不滿足正態分布的隨機信號統稱為非高斯信號，在工程中采用峭度來描述，峭度定義如下：

具體對于高斯隨機過程峭度等于零，超高斯隨機過程的峭度則大于零。

在對一般性結構進行隨機性運動試驗時，信號的均值為零。當采集數據N足夠大時，x（t）的運動過程的均值趨于零。因此，峭度的表達式為：

式中：M2，M4分別是隨機信號X的二階中心距和四階中心距。

本文將8 Grms、20 Grms按國軍標生成典型隨機振動激勵譜，然后采用二次相位調制控制激勵峭度的方法，進行時域超高斯振動載荷模擬，并采用MATLAB編程分別模擬8 Grms、20 Grms振動應力篩選下目標峭度值（K）分別為1.9和7.9的超高斯偽隨機信號。圖3~6分別為8 Grms和20 Grms條件下目標峭度值為1.9和7.9的超高斯偽隨機信號時域波形和幅值概率密度。通過模擬具有指定功率譜密度，峭度值為2和8的超高斯激勵信號，為后面結構在超高斯激勵下的響應分析計算提供數據支撐。

圖3 8Grms下模擬的超高斯偽隨機信號（K=1.9）

圖4 8Grms下模擬的超高斯偽隨機信號（K=7.9）

圖5 20Grms下模擬的超高斯偽隨機信號（K=1.9）

圖6 20Grms下模擬的超高斯偽隨機信號（K=7.9）

1.2 結構動力學有限元方程及求解

在電子產品的振動篩選試驗時，將電路板簡化為薄板結構，其薄板結構如圖7所示受到試驗臺的基礎加速度激勵信號，結構受到基礎振動時結構總位移由支座位移ug（t）和相對支座位移ui（t）兩部分組成[8]，則支座加速度為d2ug（t）/dt2，取一個微元體進行分析。

圖7 薄板單元網格及節點編號

平衡方程：

初始條件：

式中：ui，t和 ui，tt分別是 ui對時間 t的一階導數和二階導數，ρ是密度。

由虛功原理結構的平衡方程為：

將邊界條件帶入得：

取單元微分體的插值函數為N，節點的位移為u，則單元的位移為：

將公式代入公式，可得單元的運動微分方程（不考慮阻尼影響）：

r為基礎激勵影響系數向量，它的維數等于單元的自由度數，當單元自由度方向與基礎加速度方向相同時，r相應的值為1，其余為0.

如果基礎激勵的加速度為a，則：

針對采用直接積分法進行求解。直接積分法進行求解的前提是要給定初始時的數值，它是將運動微分方程進行離散分解，由給定的初始時的位移、速度、加速度的相應表達式和載荷條件，得到后續各時間點的響應的方法。有不少的方法都是直接積分法，例如Newmark法、Wilson-θ法和中心差分法等。一般來說，對于結構動力學問題，通常采用Newmark積分法，它是一種相對穩定的方法，所求結果的穩定性很高。

Newmark積分法采用以下假設，在t~t+Δt時間區域內，則有：

式中：α1和β是按積分精度和穩定性要求而決定的參數。

Newmark方法中時間t+Δt的位移ut+Δt是通過t+Δt的運動方程求得：

將公式代入公式可得到ut，ut計算ut+Δt的公式：

2 算例分析

針對薄板進行HASS試驗振動載荷分析，薄板的長為 12 cm，寬 8 cm，厚2 mm，密度 ρ=2 740 kg/m3，泊松比μ=0.33，彈性模量E=72 GPa，板兩邊固定，振動的方向與板垂直，振動量級為8 Grms和20 Grms，不考慮阻尼的影響。

將求出的超高斯隨機信號作為振動激勵，根據Newmark原理，運用MATLAB進一步分析HASS超高斯隨機振動下的響應。

如圖7所示，板的截面對稱且兩長邊固定，采用正六面體單元將板分為70個節點，24個單元，由結構對稱性取結構左下角1/4單元下表面進行分析，其它節點可由對稱得到，表1是板上下表面1/4節點對應編號。由板的加載條件及約束條件可得，最大位移點在板非約束邊中點，即4節點。圖8~11是20 Grms振動應力篩選下部分節點在某篩選時間段內的總位移響應。圖12~15是8 Grms振動應力篩選下部分節點在某篩選時間段內的總位移響應。

表1 板上下表面部分節點編號

由圖8和圖12可知，在振動篩選過程中，即4節點的位移最大，這是由于對于節點4在篩選過程中，相比于其他節點受到的約束最小，因此其振動響應位移最大。20 Grms振動應力篩選下節點的位移大于8 Grms下對應節點位移，這是由于在將振動量級模擬生成超高斯激勵時，20 Grm下的模擬激勵峰值大于8 Grms，進而對結構產生振動激勵就越大，因此其結構響應位移大于8 Grms下對應節點位移。

圖8 20Grms篩選下節點4總位移

圖9 20Grms篩選下節點5總位移

圖10 20Grms篩選下節點27總位移

圖11 20Grms篩選下節點28總位移

圖12 8Grms篩選下節點4總位移

圖13 8Grms篩選下節點5總位移

圖14 8Grms篩選下節點27總位移

圖15 8Grms篩選下節點28總位移

圖16~17是20 Grms振動應力篩選下部分節點的等效應力響應，圖18~19是8 Grms振動量級下部分節點的等效應力響應。表2是20 Grms振動應力篩選下部分節點最大應力。

圖16 20Grms篩選下節點2應力

圖17 20Grms篩選下節點28應力

圖18 8Grms篩選下節點2應力

圖19 8Grms篩選下節點28應力

表2 20Grms振動量級下部分節點最大應力（MPa）

由表2和圖20可知，2節點的等效應力最大，為26.418 MPa.這是由于板兩長邊固定約束，最大應力點位于約束邊的角點處。20 Grms振動應力篩選下節點的應力大于8 Grms下對應節點應力。此外，從約束區域到薄板中間非約束區域，等效應力依次減小，而且薄板中心位置的等效應力最小。通過以上數據對比分析可得，在振動篩選過程中，振動量級越大，結構的等效應力越大。同等條件下，振動量級越大篩選效果越好。

圖20 各節點等效應力變化趨勢

3 結束語

本文利用二次相位調制控制激勵峭度的方法進行了HASS試驗隨機振動載荷的數值模擬，建立了薄板結構在振動載荷條件下的動力學有限元方程，并利用MATLAB對薄板在HASS試驗隨機振動載荷的響應進行數值計算分析，得到以下結論：

（1）對于薄板結構，在HASS試驗隨機振動載荷條件下，受約束最小的位置位移最大，而受約束最大的位置等效應力最大，而且從約束區域到非約束區域的等效應力依次呈遞減趨勢。

（2）從不同的振動量級來看，對于同一結構，其振動量級越大，結構同等位置的等效應力越大，故其振動量級越大篩選效果越好，從而更易暴露裝備中的深層缺陷，進一步提高裝備的可靠性。