基于Jeffcott轉子的裂紋擴展動態特性分析

張星雨，馮長水

（杭州電子科技大學機械工程學院，浙江杭州310018）

0 引言

隨著現代工業的高效率、高速度發展趨勢，大型旋轉機械的功率越來越大，工作轉速越來越高，設備材料很容易產生疲勞裂紋[1]。轉子系統作為大型旋轉機械必不可少的一部分，其工作性能的好壞與整個機組的安全緊密相聯，同時停機檢查會帶來巨大損失[2]，因此對轉子系統運行的在線監測和故障分析尤為重要。

本文以橫向裂紋單盤對稱Jeffcott轉子作為研究對象，裂紋在軸的中部，時變剛度參考文獻[3]等提出的裂紋剛度模型，通過模型中添加裂紋擴展變量推導出轉子的運動方程，用MATLAB進行數值仿真，探討轉速比、質量偏心與裂紋方向夾角和質量偏心對裂紋擴展中Jeffcott裂紋轉子動態特性的影響。該研究反映了裂紋擴展下裂紋轉子的動力學特性，有助于轉子裂紋的在線監測和剩余壽命預測。

1 裂紋剛度模型

在許多文獻中，用f（θ）來表示裂紋開閉模型，用來表述裂紋張開和閉合的過程。考慮到伴隨著裂紋擴展，不能夠忽略kζ、ζ軸與η軸的耦合剛度kζη的影響，本文選取文獻[3]中的裂紋剛度模型。

2 裂紋轉子動力學方程

應用Lagrange方程建立如下振動微分方程[4-7]：

其中β為質量偏心與裂紋方向之間的夾角；e為質量偏心。

3 MATLAB仿真與數據分析

采用龍格庫塔法對上述微分方程組進行求解，選取初值x=[1 0 0 0 3.05]，并采用文獻[8]的參數數據：θ0= π，ξ=0.04，△δ=32.872，λ =0.8，C=6 ×10-10，r=0.6，R=25.4，n=3，p=0.25，q=0.25，△kth=12，kc=7 645.使用MATLAB軟件，分析并探討參數對響應的影響。

3.1 轉速比Ω對裂紋轉子的動態響應的影響

選取參數 β =0，ε =0.15，其中，圖 1（a）、（b）、（c）、（d）分別為轉速 Ω 比為 1/3、1/2、1、3/2 時所對應的裂紋轉子中心軌跡圖、縱向振動時域圖、頻譜對比圖及其局部放大圖。其中圖形上方為固定裂紋角下的頻譜圖，而圖形上方則為裂紋擴展下的頻譜圖；縱向分別為不同起始時間點的裂紋角的動態特性。

由圖1可知，處于亞臨界轉速時，裂紋轉子縱向振動幅值明顯隨著轉速比增大而增大，并且隨著裂紋時域擴展而增大；運動軌跡隨著裂紋擴展變得愈加不規則。當處于臨界轉速狀態或者超臨界轉速狀態時，2X、3X分量忽略不計，響應頻率近似于1X分量，裂紋轉子擴展頻率由質量偏心所主導，軌跡圖形呈規則形狀。

圖1 轉速比Ω對裂紋轉子響應的影響

綜圖1可知，在低轉速下固定裂紋角與裂紋擴展下的頻譜圖無明顯區別，在高轉速下，如圖（d）所示，在轉速比時，圖形上方線條明顯在Ω=2/3處出現了微弱的波峰，而加入了裂紋擴展變量之后圖形下方呈現出平穩直線，更符合文獻[8]、[9]、[10]等文獻所得出的結論。

如圖2所示，隨著轉速比的增大，裂紋擴展速度也隨之增大，轉速比與裂紋擴展總時間近似成正比；因此高轉速下裂紋故障應及早排除，以免造成嚴重損失。

圖2 轉速比Ω對裂紋擴展速度的影響

圖 3 為轉速比 Ω =1/3、1/2、1、3/2 及其鄰域的Poincaré截面圖[11-12]；由圖可知，其截面都發生了突變，由無規則環形變為直線、曲線、以及兩條曲線，體現出分數階共振以及臨界轉速和1.5倍超臨界轉速之間的特殊性；轉子在加速過程中應盡快穿過這些區域，延緩裂紋擴展，減小轉子振動幅度。

圖3 不同轉速比下的Poincaré截面圖

3.2 質量偏心與裂紋方向夾角β與質量偏心ε對裂紋轉子的動態響應的影響

圖 4 取 Ω =1/2，ε =0.15，（a）、（b）、（c）分別為 β 為0、π、π/2所對應的幅頻圖。由圖可知值對2X分量只有微弱影響，對1X分量，夾角越大，1X分量越大；隨著裂紋擴展，1X分量增加的趨勢變得不明顯。

圖4 β角對裂紋轉子響應的影響

圖 5 取 Ω =1/2，β =0，（a）、（b）、（c）分別為 ε 為0.05、0.15、0.25所對應的幅頻圖。由圖可知值對2X分量只有微弱的影響，對1X分量，越大，1X分量越大，隨著裂紋擴展，增大時1X分量增大的速度也隨之減少。主要因為β與ε影響著質量偏心，而質量偏心造成的振動頻率是1X分量，因此β和ε幾乎只作用于1X分量；得到的數據結論與上述文獻結果一致；證明了該模型的正確性。

圖5 質量偏心ε對裂紋轉子響應的影響

4 結束語

通過上述分析，可以得出以下結論：

（1）裂紋擴展速度與轉速有關，轉速越大，裂紋擴展越快，并且在裂紋達到一定值時，裂紋擴展速度驟增。

（2）質量偏心與裂紋方向夾角β與質量偏心ε只對1X分量有影響，對其他分量影響不大；β越大，1X分量越小；ε越大，1X分量越大。綜其原因，質量偏心與裂紋方向夾角β與質量偏心ε只對質量偏心作用，而1X分量就是由質量偏心引起的裂紋轉子響應。

（3）將裂紋擴展與轉子振動耦合，可以觀測到裂紋擴展過程中，在轉速比 Ω =1/3、1/2、1、3/2 時，其Poincaré截面的突變，體現了分數階共振、臨界共振的特性，在轉子運轉中應避免上述轉速，從而達到延長使用壽命的作用。